创新点1 三角与向量中的新定义问题VIP专享

三角与向量中的新定义问题高考定位 在新结构高考中，新定义压轴解答题已成为创新的主流，各知识板块均可命题(甚至在未学习过的数学领域进行命题).本板块主要从三角函数、解三角形及平面向量三个方面命制新定义解答题，虽创新力度不大，但综合程度较高，思维较灵活.【题型突破】题型一 与三角函数有关的新定义问题例 1 已知定义域为 R 的函数 h(x)满足：对于任意的 x∈R，都有 h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数 h(x)具有性质 P.(1)判断函数 f(x)＝2x，g(x)＝cos x 是否具有性质 P；(直接写出结论)(2)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(<ω<，|φ|<)，判断是否存在 ω，φ，使函数 f(x)具有性质 P？若存在，求出 ω，φ 的值；若不存在，说明理由；(3)设函数 f(x)具有性质 P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数 g(x)＝sin(f(x))，满足 g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.(1)解 因为 f(x)＝2x，则 f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又 f(2π)＝4π，所以 f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数 f(x)＝2x 具有性质 P；因为 g(x)＝cos x，则 g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cos x，又 g(2π)＝cos 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cos x＋1≠g(x＋2π)，故 g(x)＝cos x 不具有性质 P.(2)解 若函数 f(x)具有性质 P，则 f(0＋2π)＝f(0)＋f(2π)，即 f(0)＝sin φ＝0，因为|φ|<，所以 φ＝0，所以 f(x)＝sin(ωx)；所以必有 f(2π)＝0 成立，即 sin(2ωπ)＝0，因为<ω<，所以 3π<2ωπ<5π，所以 2ωπ＝4π，则 ω＝2，此时 f(x)＝sin 2x，则 f(x＋2π)＝sin 2(x＋2π)＝sin 2x，则 f(x)＋f(2π)＝sin 2x＋sin 4π＝sin 2x，即有 f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)成立，所以存在 ω＝2，φ＝0 使函数 f(x)具有性质 P.(3)证明 由函数 f(x)具有性质 P 及(2)可知，f(0)＝0，由 g(x＋2π)＝g(x)可知函数 g(x)是以 2π 为周期的周期函数，则 g(2π)＝g(0)，即 sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以 f(2π)＝kπ，k∈Z；由 f(0)＝0，f(2π)＝kπ 以及题设可知，函数 f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以 k∈Z 且 k>0；当 k>2，f(x)＝π 及 f(x)＝2π 时，均有 g(x)＝sin(f(x))＝0，这与 g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此 k＝1 或 k＝2；当 k＝1 时，f(2π)＝π，函数 f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，此时函数 g(x)...