八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且,若侧棱23SA,则正三棱锥外接球的表面积是。解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互垂直，，即，外接球的表面积是1(3)题-1HEDBACS(3)题-2MNABCS（4）在四面体SABC中，，则该四面体的外接球的表面积为（）（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，平面解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三2图5ADPO1OCB棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点图6PADO1OCB图7-1PAO1OCB图7-2PAO1OCB图8PAO1OCB图8-1DPOO2ABC图8-2POO2ABC图8-3DPOO2AB解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出.方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为A．3B．2C．316D．以上都不对类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1ACBP图9-2AO1OCBP图9-3PAO1OCB图9-4AO1OCBP1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；第二步：在中，可根据正弦定理，求出。32．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为。（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.3C.4D.43（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC;则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）4图10-1C1B1AA1O1OO2BC图10-2C1B1AA1O1OO2BC图10-3C1B1AA1O1OO2BC题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为（2）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球...
