1/15第三章中值定理与导数的应用第1节中值定理1．若)(xf在),(ba可导且)()(bfaf,则（B）。A.至少存在一点),(ba使0)('fB.不一定存在点),(ba使0)('fC.恰存在一点),(ba使0)('fD.对任意的),(ba均不能使0)('f2．已知)(xf在],[ba可导，且方程0)(xf在),(ba有两个不同的根与，则0)('xf在),(ba（A）。A.必有根B.可能有根C.没有根D.无法确定根的存在性3．下列函数中在[-1,1]上满足罗尔定理条件的是（C）。A.xeB.||lnxC.21xD.211x4．若)3)(2)(1()(xxxxxf，则0)('xf的实根个数为（B）。A.4个B.3个C.2个D.0个5．函数334)(xxf在]3,0[上满足拉格朗日定理的条件，则（C）。A.3B.3C.3D.26、证明等式)1,0(21arctan1arcsin22xxxx。证：设)1,0(1arctan1arcsin)(22xxxxxf。由于0111111)1(1111)(22222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxf所以Cxf)(，)1,0(x。为了确定C，取21x得26331arctan23arcsin)21(fC。故)1,0(,21arctan1arcsin22xxxx。7、设1,0nab，证明：)()(11banababanbnnnn。证：设nxxf)(，则)(xf在],[ab上连续，在),(ab内可导。于是由拉格朗日定理知存在)1,0(使得))((')()(bafbfaf，即)(1banbannn，其中ab。因此有)()(11banababanbnnnn8、证明不等式|||arctanarctan|baba证：若ba，显然有||0|arctanarctan|baba。若ba，不妨设ba。设xxfarctan)(，则)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导。由朗格朗日定理知存在),(ba，使得))(()()(bafbfaf，即)(11arctanarctan2baba，2/15其中ba。因此bababa211arctanarctan。9、设)(xf在],[ba上可微，证明存在),(ba使得)(')()()(ffabaafbbf。证：设)()(xxfxg，则)(xg在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)(')()('xxfxfxg。由拉格朗日中值定理知存在),(ba使得)()()(gabagbg，即)()()()(ffabaafbbf。10、设函数)(xf在],0[上可导，证明：在),0(内至少存在一点，使得0cos)(sin)('ff。证：设xxfxFsin)()(，则)(xF在],[连续，在),(内可导，且0)()0(FF由罗尔定理知存在),0(使得0)('F。而xxfxxfxFcos)(sin)(')('，故有0cos)(sin)('ff。11、若对任意的),(,21baxx有21212)(|)()(|xxMxfxf，其中M为常数，试证明)(xf为常值函数。证：任取),(,00baxxx，则由题设知xMxxfxxf)()(000。因此由夹挤定理知0)()(lim000xxfxxfx，即0)(0xf。由0x的任意性知)('xf在),(ba内恒为零，因此)(xf为常值函数。12、设)(xfy在0x的某邻域内具有n阶导数，且0)0()0(')0()1(nfff。试用柯西中值定理证明：!)()()(nxfxxfnn，)10(。证：设nxxg)(，则)(xg在0x的某邻域内具有n阶导数，且0)0()0(')0()1(nggg。对函数)(),(xgxf在以0和x为端点的区间上应用柯西中值定理可得222221111111)1()()('')('')0(')(')0()()()(')()0()()0()()()()(nnnnnfgfggffnfgfgxgfxfxgxfxxf!)()()()0()()0()()()()()()()1(1)1()1(1)1(1)1(1)1(nfgfggffgfnnnnnnnnnnnnnnnn，其中1在0和x之间，2在0和1之间，⋯⋯，n在0和1n之间。因此n在0和x之间，记xn)10(。故有!)()()(nxfxxfnn。3/15第2节洛比达法则1．设0)(lim)(limxFxfaxax，且在点a的某邻域中（点a可除外），)('xf及)('xF都存在，且0)('xF，则)()(limxFxfax存在是)()(limxFxfax存在的（B）。A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件2．求极限xxxarctan)11ln(lim解：注意到当x时，2arctanx，所以02/)01ln(arctan)11ln(limxxx。3.求极限22)2(sinlnlimxxx解：812sinlim412coslim41)2)(2(2sincoslim)2(sinlnlim22222xxxxxxxxxxxx。另解：作变换，设tx2，则当2x时，0t。于是8141coslim4)]1(cos1ln[lim4coslnlim)2(sinlnlim20202022ttttttxxtttx。4.求极限xxxsin0lim解：设xxysin，则xxylnsinln。于是0cossinlimcotcsc1limcsclnlimlnsinlimlnlim200000xxxxxxxxxxyxxxxx。故1lim0sin0exxx。5.求极限xxxtan0)1(lim解：设xxytan)1(，则xxxxylntan)lntanln（。于是0sinlimcsclimcotlnlim)ln(tanlimlnlim20210000xxxxxxxxyxxxxx。故1)1(lim0tan0exxx。6.求极限xxxarctan2lim解：设xxyarctan2，则xxyarctan2lnln。于是21212lnlnarctan2(arctan)(1)limlnlimlimxxxxxxyxx。故22limarctanxxxe4/157.求极限xxxxxxln)1ln()1lim2sin0（解：首先利用恒等变形可得xxxexxxxxxxxxln)1ln()1(limln)1ln()1li...
