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1/11习题77-1．原长为m5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：cos()xAt，在本题中，kxmg，所以9.8k；∴9.8980.1km。取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。所以：0.1cos98xt（）即：0.1cos(98)xt。7-2．有一单摆，摆长m0.1l，小球质量g10m，0t时，小球正好经过rad06.0处，并以角速度0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）解：振动方程：cos()xAt我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：9.83.13/gradsl，频率：19.80.522gHzl，周期：2229.8lTsg；（2）振动方程可表示为：cos3.13At（），∴3.13sin3.13At（）根据初始条件，0t时：cosA，0(12sin0(343.13A，象限），象限）可解得：，-2.32rad95.3227rad,108.802A所以得到振动方程：rad)32.213.3cos(108.82t。7-3.一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm0.8处的速度大小。解：（1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置；2/11由0kxmg，知209.8196510kgmx，∴19614km，振动频率：17()2kHzm；（2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=0.03m的位置，所以：3cos5xA，由22cossin1，有：4sin5，而sinvA，那么速度的大小为：40.56/5vAms。7-4．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为cm12，周期为s2。当0t时，位移为cm6，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）s5.0t时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于cm6x，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由题已知A=0.12m，T=2s，∴2T又 t=0时，06xcm，00v，由旋转矢量图，可知：3故振动方程为：0.12cos3xtm（）；（2）将t=0.5s代入得：0.12cos0.12cos0.10436xtm（），0.12sin0.12cos0.188/36vtms（），2220.12cos0.12cos1.03/36atms（），方向指向坐标原点，即沿x轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于6cm2Ax，且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到平衡位置Q处需要走32，建立比例式：2tT，Px2A3Q3/11有：56ts。7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在2/1Ax处，且向左运动时，另一个质点2在2/2Ax处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在2/1Ax处，且向左运动时，相位为3，而质点2在2/2Ax处，且向右运动，相位为43。所以它们的相位差为。7-6.质量为m的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：平衡位置：当FG浮时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：mggSa可知浸入水中为a处为平衡位置。以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用ax来表示，所以力()FgaxSgaSgSx，利用牛顿定律：22dxFmdt，再令：224gSgdmm，可得：0222xdtxd，可见它是一个简谐振动；周期为：24mTdg。7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：mkkkk)(212121。4/11证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：1122kxkx，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：1122kxkxkx，考虑到xxx21，可得：12111kkk，所以：1212kkkkk代入频率计算式，可得：mkkkkmk)(21212121。7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由212PEkx，212kEmv，有：221cos()2PEkAt，2222211sin()sin()22kEmAtkAt，（1）当2Ax时，由cos()xAt，有：1cos()2t，3sin()2t，∴14PEE，34kEE；（2）当12PkEEE时，有：22cos()sin()tt∴1cos()2t...