专题14平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1B．4︰2︰1C．5︰4︰3D．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ?PT＝PR?PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ?PT＝PR?PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，PR，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．【例5】如图，已知AB∥CD，AD∥CE，F，G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB，AD，CD，CE于点M，N，P，Q．求证：MN＋PQ＝2PN．解题思路：考虑延长BA，EC构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且AMAB＝13，ANAC＝13，点P1，P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，⋯，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋⋯＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．能力训练A级1．设K＝abcc＝abcb＝abca，则K＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．ABCDEFP图2ABCDEFP图1ABCMNP图1ABCMN1P2P图2AMNBC1P2P2009P图33．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，则BD︰DN＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD是正方形，E，F是AB，BC的中点，连结EC交DB，交DF于G，H，则EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC的边BC，CA上分别有点E，F，且满足BE＝CF＝a，EC＝FA＝b（a＞b），当BF平分AE时，则ab的值为（）A．512B．522C．512D．5226．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AF︰FD＝1︰5，连结CF并延长交AB于E，则AE︰EB等于（）A．1︰10B．1︰9C．1︰8D．1︰77．如图，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，则PC等于（）A．4B．8C．12D．168．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝35BC，则BE︰EA等于（）A．3︰5B．2︰5C．2︰3D．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）ABCDEF第2题ABCDMN第3题ABCDEFGH第4题ABCEFG第5题ABCDEF第6题QABCP第7题ABCDEF第8题10．...
