专题三数列求和及数列的综合应用VIP免费

1/9第2讲数列求和及数列的综合应用自主学习导引真题感悟1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为A.100101B.99101C.99100D.101100解析利用裂项相消法求和．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. a5＝5，S5＝15，∴a1＋4d＝5，5a1＋5×5－12d＝15，，∴a1＝1d＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴数列{1anan＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋⋯1100－1101＝1－1101＝100101.答案A2．(2012·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N＋.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解析(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.所以an＝4n－1，n∈N＋.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N＋.2/9(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N＋，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋⋯＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋⋯＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋⋯＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N＋.考题分析数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用．网络构建高频考点突破考点一：裂项相消法求数列的前n项和【例1】(2012·门头沟一模)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an＋1(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.[审题导引](1)运用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，求an，注意n＝1时通项公式an；(2)裂项法求和．[规范解答](1)由已知，当n＝1时，a1＝S1＝2，3/9当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2，n＝1，2n－1，n≥2.(2)由(1)知，bn＝16，n＝1，12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，n≥2，当n＝1时，T1＝b1＝16，当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋⋯＋bn＝16＋1213－15＋15－17＋⋯＋12n－1－12n＋1＝13－14n＋2，∴{bn}的前n项和Tn＝13－14n＋2.【规律总结】常用的裂项技巧和方法用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：(1)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)；(3)Cm－1n＝Cmn＋1－Cmn；(4)n·n！＝(n＋1)！－n！等．[易错提示]利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如1nn＋2容易误裂为1n－1n＋2，漏掉前面的系数12；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．【变式训练】1．(2012·大连模拟)已知函数f(x)＝xx＋3，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}满足bn＝12anan＋1·3n，Sn＝b1＋b2＋⋯＋bn，求Sn.解析(1)由已知，an＋1＝anan＋3，∴1an＋1＝3an＋1.4/9∴1an＋1＋12＝31an＋12，并且1a1＋12＝32，∴数列1an＋12为以32为首项，3为公比的等比数列，∴1an＋12＝32·3n－1，∴an＝23n－1.(2)bn＝2·3n3n－13n＋1－1＝13n－1－13n＋1－1，∴Sn＝b1＋b2＋⋯＋bn＝13－1－132－1＋⋯＋13n－1－13n＋1－1＝12－13n＋1－1.考点二：错位相减法求数列的前n项和【例2】(2012·滨州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，求数列1dn的前n项和Tn.[审题导引](1)利用递推式消去Sn可求an；(2)利用错位相减法求数列1dn的前n项和．[规范解答](1)由an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)，得an＝2Sn－1＋2(n∈N＋，n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n∈N＋，n≥2)，又a2＝2a1＋2， {an}是等比数列，所以a2＝3a1，则2a1＋2＝3a1，∴a1＝2，∴an＝2·3n－1.(2)由(1)知an＋1＝2·3n，an＝2·3n－1. an＋1＝an＋(n＋1)dn，∴dn＝4×3n－1n＋1，5/9令Tn＝1d1＋1d2＋1d3＋⋯＋1dn，则Tn＝24×30＋34·31＋44·32＋⋯＋n＋14·...