第1页专题训练(五)三种特殊的等腰三角形的运用有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含36°角的等腰三角形．下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定．?类型一等腰直角三角形定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°.判定：利用定义．1．如图5－ZT－1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.图5－ZT－12．如图5－ZT－2，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F.判断△DBF的形状，并证明你的结论．图5－ZT－23．如图5－ZT－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．图5－ZT－3?类型二等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°.判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．图5－ZT－44．如图5－ZT－4，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为()A．60°B．45°C．40°D．30°第2页5．如图5－ZT－5，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6cm，DE＝2cm，求BC的长．图5－ZT－56．如图5－ZT－6，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，求证：AC＝BE.图5－ZT－67．如图5－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.求证：AE＝EF.图5－ZT－7?类型三有一角是36°的等腰三角形有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；(2)底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性．8．如图5－ZT－8，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为()A．30°B．36°C．38°D．45°图5－ZT－8图5－ZT－9.如图5－ZT－9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________°.10．如图5－ZT－10，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为________．第3页图5－ZT－10图5－ZT－1111．如图5－ZT－11所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且AB＝BD，AD＝DC，则∠BAC＝________°.12．如图5－ZT－12，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括△ABC)(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续按以上操作发现：在图③中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．图5－ZT－12详解详析1．证明： △ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC. ∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD，∴∠DAB＝∠EAC.在△ADB和△AEC中， AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，∴△ADB≌△AEC(S.A.S.)，∴BD＝CE.2．解：△DBF是等腰直角三角形．第4页证明： AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC. BF平分∠ABE，AC⊥BE，∴∠DFB＝∠DAB＋∠ABF＝12(∠BAE＋∠ABE)＝12(180°－∠AEB)＝45°，∴∠DBF＝90°－∠DFB＝45°，∴DB＝DF，∴△DBF是等腰直角三角形．3．解：数量关系：BE＝EC，位置关系：BE⊥EC.证明： △AED是等腰直角三角形，∴∠AED＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，AE＝DE. ∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠BAC＝45°＋90°＝135°，∠EDC＝180°－∠EDA＝180°－45°＝135°，∴∠EAB＝∠EDC. D是AC的中点，∴AC＝2CD.又 AC＝2AB，∴AB＝CD，∴△EAB≌△EDC，∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°，即BE⊥EC.4．C5．解：延长AD交BC于点M，由AB...
