倍立方问题希腊人在用尺规作出正方形两倍于另一正方形之后，试图解决如何用尺规作一立方体两倍于另一立方体的问题。关于此问题的起源还有这样一则传说。有一回，太阳神阿波罗用神谕对德利安岛上的人说，如果他们要免于一场可怕的瘟疫，就必须建造一座新的立方祭坛，新祭坛的体积必须是原有立方祭坛的两倍。德利安人绞尽脑汁，仍一筹莫展；死亡的阴影笼罩全岛，德利安人惶惶不可终日。最后，他们只好去求助于柏拉图。柏拉图告诉他们说，神谕的意思其实并非要一座两倍大的祭坛，而是由于希腊人忽视数学，鄙视几何，故想借这一难题来羞辱他们。实际上，倍立方问题的产生比传说要早。柏拉图以前的巧辩学派已致力于对它的研究，他们苦苦探求，却和德利安人一样一无所成。第一个给黑暗的困境带来希望的曙光的是数学家希波克拉底（Hippocrate,公元前5世纪）。他原是商人，因商途遭劫，身无分文，故来到当时的商业中心、美丽繁华的亚典谋生。在亚典期间（约公元前450～430），他于哲人为伍，渐通几何。当时，三大难题是数学家们研究的焦点，希波克拉底自然被它们吸引住了。他发现，若在a，b两线段之间能找到两个比例中项x，y使得a:x＝x:y＝y:b，那么就有。当b＝2a时即可得。于是希波克拉底将倍立方问题转化为在两已知线段之间求两个比例中项一成连比例问题。第一个在理论上取得巨大成功的是柏拉图之友、毕达哥拉斯学派的数学家、哲学家和政治家阿契塔（Archytas，鼎盛时期为公元前400～365）。阿契塔的作图不是在平面上而是在三维空间中完成的，因而是倍立方问题的所有理论解法中最引人注目的。图4-2-10图4-2-11如图4-2-10所示，设AC、AB是两条已知线段，。我们要在它们之间求两个比例中项。设AC是圆的直径而AB是圆的一条弦。以AC为直径作垂直于圆ABC所在平面的半圆，将所作半圆绕过A且垂直于平面ABC的直线旋转一周，得内径为零的半圆环曲面。接着以半圆ABC为底作一直立半圆柱，交半圆环曲面于某条曲线。最后，设圆ABC在C点处的切线交AB延长线于D。将绕AC轴旋转，得一圆锥，同时B点在旋转过程中在与平面ABC垂直的平面上画出了半圆BQE，直径BEAC。于是圆锥面与半圆环曲面和半圆柱面的交线相交于某点P。设APC为旋转半圆的相应位置，AC交圆ABC于M。作PM平面ABC，易知它必与圆ABC相交。设AP交半圆BQE于Q，AC交BE于N。连PC、QM、QN。因QN是垂直于平面ABC的两个半圆的交线，因而QN平面ABC，从而得QNBE。因此，故AQM＝。但APC＝，因而MQCP。因此CA:AP＝AP:AM＝AM:AQ，或即AC:AP＝AP:AM＝AM:AB。于是，AM、AP就是所求的AB和AC之间的两个比例中项。若以AC为x轴，平面ABC上过A且垂直于AC的直线为y轴，过A且平行于PM的直线为z轴，AC＝a，AB＝b，则三曲面方程分别是（i）（圆锥面），（ii）（圆柱面），（iii）（圆环面）。不难由（i）、（ii）和（iii）得交点P的坐标满足：这就是AC:AP＝AP:AM＝AM:AB。当AC＝2AB时就有，从而解决倍立方问题。图4-2-12是该作图法的几何模型。图4-2-12阿契塔的学生、大数学家欧多克斯（Eudoxus，约公元前40～355）将他老师的作图法作了改进，得到平面上的作图法（图4-2-11）。欧多克斯所用曲线即是阿契塔作图法中的圆锥面和圆环面交线在平面ABC上的投影。用我们的语言来说，它就是以A为极点，AC为极轴，则其极坐标方程是设曲线与圆ABC的交点为M，则AM就是AB和AC间的第一个比例中项，或即阿契塔和欧多克斯的解法并不容易，希腊人当然不会满足于此。欧多克斯的学生、柏拉图学派的数学家梅内克缪斯（Menaechmus，鼎盛于公元前4世纪中叶）为在两已知线段间得两个比例中项而发现了圆锥曲线。梅氏给出了两种解法。如图4-2-13，设AO、OB是两条给定线段，，AO⊥OB。假设它们之间的两个比例中项为在BO和AO延长线上截得的OM和ON。作矩形OMPN，因AO:OM＝OM:ON＝ON:OB，故得：(i)；(ii)；(iii)。因此点P在以下三条圆锥曲线上：（i）以O为顶点，OM为对称轴，OB长为正焦弦的抛物线;（ii）以OM、ON为渐近线的双曲线（过该曲线上任一点作渐近线的垂线所得矩形与矩形AB等积）；（iii）以O为顶点，ON为对称轴，OA长为正焦弦的抛物线。梅氏的第一种方法是作出曲...
