偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x）10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分）11、（d）12、（a）13、（c）14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?217、a=[459;23517;11231]18、y=exp(-t/3)*sin(3*t)?xn19、help20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed?25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h（4分）un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。解所给对流扩散方程的近似差分方程为?1nnun?ununjjj?1?2uj?uj?1?a?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）?h2便于迭代计算的格式为?1nnnn2，（4分）???/hun?u?a?(u?2u?u)jjj?1jj?1?1nn28、计算差分格式un（其中???/h，a?0）的增长?unjj?a?(uj?1?uj)，因子，并根据vonneumann条件给出差分格式稳定性条件。nnijkhn?1nnn解令uj?ve，代入uj?uj?a?(uj?1?uj)，得到vn?1eijkh?vneijkh?a?vn(1?e?ikh)eijkh消去公因子有vn?1?[1?a?(1?e?ikh)]vn（6分）增长因子为g(?,k)?1?a?(1?e?ikh)?1?a?(1?coskh)?a?isinkh所以有kh2如果a??1，则有|g(?,k)|?1，根据vonneumann条件，格式是稳定的。（6分）|g(?,k)|2?[1?a?(1?coskh)]2?[a?isinkh]2?1?4a?(1?a?)sin2五、证明题（12分）29、把下列richardson格式改写为与其等价的二层差分格式，利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了vonneumann条件，从而证明此格式不稳定。2?1?1nnun?un?2a?(unjjj?1?2uj?uj?1)，???/h证明把已知的三层格式化为二层差分方程组n?1nnnn??uj?vj?2a?(uj?1?2uj?uj?1)?n?1n??vj?ujnnt令unj?[uj,vj]，则以上方程组可以改写为n?1nnn????????uuuu?2a?0?4a?02a?0??????jj?1jj?1n?1uj??n?1?????n???10??n???00??n?（4分）00????????vj????vj?1????vj????vj?1??或?2a?0?n??4a?0?n?2a?0?nu???uj?1??10?uj??00?uj?100??????nikjh令un，代入上式消去公因子eikjh，得到j?vjen?1j?2a?0?ni(j?1)kh??4a?0?nijkh?2a?0?ni(j?1)khve?????vje?vje??00?vje0010????????2a?0?ikh??4a?0??2a?0??ikh?nijkh???e????e?vje（4分）????10??00???00??化简系数矩阵得到??2kh?8a?sin1?vnvn?1??2??10??其特征值为kh?1,2??4a?sin22取正的为?1，则有kh|?1|?1?4a?sin22由此不满足vonneumann条件，所有richardson格式是不稳定的。（4分）n?1ijkhj六、编程题（12分）：30、用matlab的m文件的形式（function函数）写出以下迭代格式的计算程序。?1nn???/hun?unjj?a?(uj?1?uj)，初始条件为u(x,0)?sin?x,0?x?1，u(0,t)?u(1,t)?0,t?0。解设a为方程中的系数a，tao为时间步长?，h为空间步长，n，m分别为时间和空间的最大计算步数。function函数如下function[u]=jch(a,tao,h,n,m)%u=1;t=0.5;x=1;lamda=tao/h;forj=1:nx(j+1)=x(j)+tao;forn=1:mt(n+1)=t(n)+h;ifj==1u(j,n)=sin(pi*x(j));elseifn==1u(j,n)=0;elseu(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1);%u(j,n)=0;endendendendend【篇二：《常微分方程》答案习题5.2】2—0202412—03?t21.试验证??t?=??2tt??1?1??x?2?x,x=?1??x2?t??是方程组x?0=??22??t，在任何不包含原点的区间a?t?b上的基解矩阵。?t2??解：令??t?的第一列为?1(t)=??2t????2...
