【2015中考全景透视】【第24讲】锐角三角函数VIP免费

第24讲锐角三角函数考点一锐角三角函数的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.温馨提示：1.锐角三角函数是在直角三角形中定义的.2.sinA，cosA，tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位.3.锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关.4.当A为锐角时，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.考点二特殊角的三角函数值特殊角α三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313温馨提示：1.30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子从小到大分别是1，2，3，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°，45°，60°角的余弦值的分母也都是2，而分子从大到小分别是3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.2.30°，60°角的正切值互为倒数，都和3有关，45°角的正切值是1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大.考点三三角函数之间的关系1．同角三角函数之间的关系sin2α＋cos2α＝1；tanα＝sinαcosα.2．互余两角的三角函数关系若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，tanA·tanB＝1.3．锐角三角函数的增减性当α为锐角时，0＜sinα＜1,0＜cosα＜1，且sinα，tanα的值都随α的增大而增大；cosα的值随α的增大而减小．温馨提示：这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形公式.考点一锐角三角函数的定义例1(2014·黄石)如图，⊙O的直径CD＝10cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8cm，则sin∠OAP＝________.【点拨】 AB⊥CD，CD是⊙O的直径，AB＝8cm，∴AP＝12AB＝4(cm)． CD＝10cm，∴OA＝5(cm)．在Rt△OAP中，OP＝OA2－AP2＝52－42＝3(cm)．∴sin∠OAP＝OPOA＝35.【答案】35方法总结：根据锐角三角函数的定义，代入边的长度求出三角函数值，若没有图形，最好用数形结合的思想画出图形帮助分析求解.考点二特殊角的三角函数值例2(2014·凉山州)在△ABC中，若cosA－12＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是()A．45°B．60°C．75°D．105°【点拨】 cosA－12＋(1－tanB)2＝0，∴cosA＝12，tanB＝1，即∠A＝60°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.故选C.【答案】C方法总结：30°，45°，60°角的正弦值、余弦值都可以表示为m2的形式，m的值分别为1，2，3；3，2，1；30°，45°，60°角的正切值都可以表示为m3的形式，m的值分别为3，9，27.考点三三角函数之间的关系例3(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝513，则tanB的值为()A.1213B.512C.1312D.125【点拨】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝BCAB，又 sinA＝513，∴BCAB＝513.设BC＝5k(k>0)，则AB＝13k，∴AC＝AB2－BC2＝13k2－5k2＝12k，∴tanB＝ACBC＝12k5k＝125.故选D.【答案】D1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则tanA等于(A)A.34B.43C.35D.45解析：在Rt△ABC中， sinA＝35，∴BCAB＝35.设BC＝3k(k>0)，则AB＝5k，由勾股定理可得AC＝4k，∴tanA＝BCAC＝3k4k＝34.故选A.2．把△ABC三边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(A)A．不变B．缩小为原来的13C．扩大到原来的3倍D．不能确定3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ba.则下列关系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinAD．tan2A＋cot2A＝1解析：根据余切的概念可得，A中，tanA·cotA＝ab·ba＝1，故A成立；B中，sinA＝ac，tanA·cosA＝ab·bc＝ac，故B成立；C中，cosA＝bc，cotA·sinA＝ba·ac＝bc，故C成立；而D中，tan2A＋cot2A＝ab2＋ba2＝a2b2＋b2a2＝a4＋b4a2b2≠1，故D不成立．故选D.答案：D4．如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则()A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°·sin54°D．点A到OC的距离为cos36°·sin54°解析： OC∥BA，∴∠A＝∠AOC＝36°.在Rt△ABO中，AO＝AB·cosA＝cos36°，BO＝AB·sinA＝sin36°.∴点B到AO的距离为BO，即为sin36°.如图，作AE⊥OC于点E，在Rt△AOE中，AE＝AO·sin∠AOC...