双曲线的几何性质(3)VIP免费

双曲线双曲线的简单几何性的简单几何性质质xyOlF思考：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.cx2aacM解：设点M(x,y)到l的距离为d，则||MFcda即222()xcycaaxc化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2)设c2－a2=b2，22221xyab(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.222()||axcyacx22224222(2)2axcxcyaacxcxb2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线22221xyab是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆2axc是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线2axcxyoFlMF′2axcl′2axc点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(0,c)的是上准线2yac2yac相应于下焦点F′(0,-c)的是下准线2yac2yacF′[基础练习]1.双曲线的中心在原点,离心率为4,一条准线方程是,求双曲线的方程.12x22y1460x2.双曲线4y2-x2=16的准线方程是；两准线间的距离是;焦点到相应准线的距离是.25y54558553.双曲线的渐近线方程为一条准线方程是,则双曲线的方程是.A.B.C.D.513x12y,5x22125144xy22114425xy22251144xy22251144yxD4.双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8,那么P到它的左准线的距离.2216436xy965，求证：是双曲线右支上任意点）（的焦点－已知双曲线),(),0,(0,)0,0(100212222yxPcFcFbabyax例1、证明：，01||exaPFP说明：|PF1|,|PF2|称为双曲线的焦半径.cax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得accaxPF201||01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122||||exaaPFPFmin1||PFace其中为双曲线的离心率.yl'l..F2F1O.02||exaPFx|练习1:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1证明:(1)设已知双曲线的方程是:12222byax则它的共轭双曲线方程是:12222axby渐近线为：0byax渐近线为:0axby可化为：0byax故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),∵22bac22bac∴c=c'所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆.2222上bayx问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？练习2、已知双曲线221,169xyF1、F2是它的左、右焦点.设点A(9,2),在曲线上求点M，使24||||5MAMF的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA165x由已知：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:54e作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分别是N,A1,N2||5||4MFMN24||||5MFMNA124||||||||5MAMFMAMN1||AA当且仅当M是AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:4132x413,2,3M即29.5最小值是