高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 3.2 空间向量基本定理课时跟踪训练 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

空间向量基本定理[A组基础巩固]1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c解析：只有a＋2c与p，q不共面，故可以与p，q构成一个基底．答案：D2．以下四个命题中正确的是()A．用三个向量可表示空间中的任何一个向量B．若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底解析：使用排除法．因为用三个不共面的向量可表示空间中的任何一个向量，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间的一个基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确．故选B.答案：B3．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)解析：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．答案：A4.如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则()A．x＝2，y＝1，z＝B．x＝2，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝1D．x＝，y＝，z＝解析：AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝2a＋b＋c.答案：A5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则AB1在CB1上的投影为()A．－B.1C．－D.解析： 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，∴|AB1|＝，|AC|＝，|B1C|＝.∴△AB1C是等边三角形．∴AB1在CB1上的投影为|AB1|cos〈AB1，CB1〉＝cos60°＝.答案：B6.如图，点M为OA的中点，{OA，OC，OD}为空间的一个基底，DM＝xOA＋yOC＋zOD，则有序实数组(x，y，z)＝__________.解析：DM＝OM－OD＝OA－OD，所以有序实数组(x，y，z)＝.答案：7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，则向量AC1在向量AD1上的投影为________．解析：AC1在AD1上的投影为|AC1|cos〈AC1，AD1〉，而|AC1|＝＝2，在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝＝，∴|AC1|cos〈AC1，AD1〉＝2.答案：28．设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，若存在实数λ，μ，v，使a4＝λa1＋μa2＋va3，则λ，μ，v的值分别为________．解析：由题意得3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)，由空间向量基本定理可知，由同一个基底表示的同一个向量是唯一的，∴，解得.答案：－2,1，－39．已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一个基底．若向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，求p在基底a＋b，a－b，c下的坐标．解析：依题意知，p＝a＋2b＋3c.设p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，即p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又p＝a＋2b＋3c，∴解得∴p在基底a＋b，a－b，c下的坐标为(，－，3)．10．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，试用向量AB、AD、AP表示向量MN.2解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，AC，则MN＝EN－EM.由题意易知EN＝CD＝BA＝－AB，EM＝PM－PE＝PC－PC＝PC，PC＝AC－AP＝AB＋AD－AP，所以MN＝－AB－(AB＋AD－AP)＝－AB－AD＋AP.[B组能力提升]1．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若AP＝xAB＋yAD＋zAA1，且0≤x≤y≤z≤1，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A．1B.C.D.解析：根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，知满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACDA1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥AA1C1D1内，其体积是××1×1×1＝.答案：D2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则AC1在BA上的投影是________．解析：AC1在BA上的投影为|AC1|cos〈AC1，BA〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝＝＝＝，又|AC1|＝.∴|AC1|cos...