课时作业(四十五)空间向量及其运算一、选择题1．(2015·长春模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2答案：A解析：由题意知解得或2．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定答案：B解析：如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.3．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量OA，OB，OC表示向量OG，设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别是()A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝答案：D解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c， G分MN所成的比为2，∴MG＝MN，∴OG＝OM＋MG＝OM＋(ON－OM)＝a＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c.故应选D.4．(2015·宝鸡模拟)已知四边形ABCD满足AB·BC>0，BC·CD>0，CD·DA>0，DA·AB>0，则该四边形为()A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形答案：D解析：由条件可知四边形ABCD中，相邻两边的夹角都是钝角，结合选项可知其应为空间四边形，故应选D.5．(2015·武汉模拟)如图，二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a答案：A解析： AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC，BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB·BD＝0， CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝＝＝2a.6．(2015·杭州摸底考试)已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＋y＋z＝1”是“点P位于平面ABC内”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＋y＋z＝1”是“点P位于平面ABC内”的充要条件，证明如下：必要性：依题意，知A，B，C三点不共线，则四点A，B，C，P共面⇔对空间任一点O，存在实数x1，y1，使得OP＝OA＋x1AB＋y1AC＝OA＋x1(OB－OA)＋y1(OC－OA)＝(1－x1－y1)OA＋x1OB＋y1OC.取x＝1－x1－y1，y＝x1，z＝y1，则有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1.充分性：对于空间任一点O，存在实数x，y，z且x＋y＋z＝1，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC，所以x＝1－y－z，得OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC＝OA＋yAB＋zAC.即AP＝yAB＋zAC，所以四点A，B，C，P共面．故应选C.二、填空题7．(2015·台州模拟)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6，a·b＝30，则＝________.答案：解析：设向量a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，由已知及向量数量积的定义，得a·b＝|a||b|cosθ＝5×6×cosθ＝30，所以cosθ＝1，所以θ＝0°，所以a∥b.又因为a与b均为非零向量，且|a|＝5，|b|＝6，所以可得b＝a，即(b1，b2，b3)＝(a1，a2，a3)，从而有＝＝＝，得＝.8．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为边的平行四边形的面积为________．答案：7解析：由题意，可得AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝.∴sin〈AB，AC〉＝.∴以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝|AB||AC|sin〈AB，AC〉＝14×＝7.9．(2015·郑州模拟)已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．答案：解析：设OQ＝λOP＝λ(1,1,2)＝(λ，λ，2λ)，∴Q(λ，λ，2λ)，∴QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．∴QA·QB＝6λ2－16λ＋10，故当λ＝时有最小值，此时Q坐标是.10．(2015·徐州模拟)给出下列命题：①AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；④若OP＝OA＋OB，则P，A，B三点共线．其中正确命题的序号是________．答案：①解析：①显然成立；②|a|－|b|＝|a＋b|，符号成立的条件是a，b反向，而a与b共线的方向为相同或相反，②错误；③中，任意两个向量都是共面向量，显然③不正确；④中，O...
