压轴大题抢分专练（三）1.椭圆＋y2＝1的离心率为，过点P(2,0)作直线l交椭圆于不同的两点A，B.(1)求椭圆的方程；(2)①设直线l的斜率为k，求出与直线l平行且与椭圆相切的直线方程(用k表示)；②若C，D为椭圆上的动点，求四边形ACBD面积的最大值．解：(1)由题意得＝，解得a＝，即椭圆方程为＋y2＝1.(2)①设切线方程为y＝kx＋m，代入＋y2＝1可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由Δ＝0可得m2＝1＋2k2，故切线方程为y＝kx±.②要使得四边形ACBD的面积最大，需满足C，D两点到直线l的距离之和最大，即两条切线间的距离d＝＝最大，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－2k，联立整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝·，故S四边形ACBD≤d·|AB|＝··＝＝2≤2，当且仅当k＝0且C(0,1)，D(0，－1)或C(0，－1)，D(0,1)时，等号成立．故所求四边形ACBD面积的最大值为2.2．设数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，n∈N*.(1)求a2，a3；(2)证明：数列{an}为递增数列；(3)证明：≤an≤，n∈N*.解：(1)a2＝＋＝，a3＝＋2＝.(2)证明：用数学归纳法证明an>0：①当n＝1时，a1＝>0；②假设n＝k时，ak>0，则ak＋1＝ak＋>0.所以由①②得an>0，n∈N*.所以an＋1－an＝>0，即an＋1>an，数列{an}为递增数列．(3)证明：由(2)知an>0，n∈N*且数列{an}为递增数列，由an＋1－an＝<得－<<＝－，－<－，…，－<－，－<－，因此－<2－，1所以－≤2－(当且仅当n＝1时，等号成立)，故an≤.由an≤<1得an＋1＝an＋
an＋1，故an＋1－an＝>，所以－>≥＝－，－>－，－>－，…，－>1－，因此－>1－，所以－≥1－(当且仅当n＝1时，等号成立)，故an≥.综上所述，对任意的n∈N*，≤an≤.2
