解答题(四)17．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．解(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.18．(2019·北京人大附中信息卷二)某绿色有机水果店中一款有机草莓，味道鲜甜．店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收．(1)若水果店一天购进17斤草莓，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：斤，n∈N)的函数解析式；(2)水果店记录了100天草莓的日需求量(单位：斤)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数1422141615136①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；②若水果店一天购进17斤草莓，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于150元的概率．解(1)当日需求量n≥17时，利润y＝17×10＝170；当日需求量n≤16时，利润y＝10n－8(17－n)＝18n－136.所以当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y＝(2)①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，则日需求量为14斤时，利润为116；日需求量为15斤时，利润为134；日需求量为16斤时，利润为152；日需求量不小于17时，利润为170.故这100天的日利润(单位：元)的平均数为y＝×(14×116＋22×134＋14×152＋16×170＋15×170＋13×170＋6×170)，解得y＝152(元)．②利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤．以频率预估概率，得当天的利润不少于150元的概率为p＝0.14＋0.16＋0.15＋0.13＋0.06＝0.64.19．(2019·江西省名校5月联考)已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行，并证明；(2)求点B到平面AEC的距离．解(1)如图所示，分别取BC和BD的中点H，G，作直线HG，则HG为所求直线．证明如下：因为点H，G分别为BC和BD的中点，所以HG∥CD，分别取CD，BC的中点O，H，连接EO，AH，则EO⊥CD，AH⊥BC，因为平面CDE⊥平面BCD，且EO⊥CD，∴EO⊥平面BCD，又平面ABC⊥平面BCD，AH⊥BC，则AH⊥平面BCD，所以EO∥AH，又AH⊄平面CDE，EO⊂平面CDE，所以AH∥平面CDE.因为GH∥CD，GH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以GH∥平面CDE，因为AH，GH⊂平面AGH，AH∩GH＝H，则平面AHG∥平面CDE，所以直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行．(2)由(1)可得EO∥AH，即EO∥平面ABC，所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，连接DH，则DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，则DH⊥平面ABC.记点E到平面ABC的距离为d，则d＝DH＝，又△ABC的面积S＝×2×＝2，△ACE的面积S1＝××＝，因为VE－ABC＝VB－ACE，设点B到平面AEC的距离为h，所以×2×＝××h，解得h＝.即点B到平面AEC的距离为.20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C上的点M(2，y0)到F的距离为3.(1)求抛物线C的方程；(2)斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，若AB的垂直平分线交x轴于点G，且GA·GB＝5，求直线l的方程．解(1)由抛物线定义知|MF|＝2＋，所以2＋＝3，p＝2，所以，抛物线C的方程为y2＝4x.(2)解法一：设AB中点坐标(2，m)，直线l的斜率存在，所以m≠0，kAB＝＝＝，所以直线AB的方程为y－m＝(x－2)．即2x－my＋m2－4＝0.由得y2－2my＋2m2－8＝0，其中Δ>0得到m2<8，AB的垂直平分线方程为y－m＝－(x－2)，令y＝0，得x＝4，所以G(4,0)，GA＝(x1－4，y1)，GB＝(x2－4，y2)，因为GA·GB＝5，所以(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝5，x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2＝5，－4×4＋16＋y1y2＝5.③把②代入③得(m2－4)2＋8(m2－4)－20＝0，(m2＋6)·(m2－6)＝0，m2＝6<8，m＝±.所以，直线l的方程为2x－y＋2＝0或2x＋y＋2＝0.解法...
