高考达标检测（四十五）二项式定理命题3角度——求系数、定特项、会赋值一、选择题1.3的展开式中的常数项为()A．12B．－12C．6D．－6解析：选A由题意可得，二项展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)3－rr＝(－2)rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴3的展开式中的常数项为T2＋1＝(－2)2C＝12，故选A.2．(2017·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74B．121C．－74D．－121解析：选D展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.3．(2017·唐山一模)3展开式中的常数项为()A．－8B．－12C．－20D．20解析：选C∵3＝6，∴Tr＋1＝Cx6－r·r＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为C(－1)3＝－20.4．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为()A．5B．3C．2D．0解析：选A常数项为C×22×C＝4，x7系数为C×C(－1)5＝－1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.5．若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是()A．21B．－21C．7D．－7解析：选A由题意可知2m＝128，∴m＝7，∴展开式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r·r＝C37－r(－1)rx7－，令7－r＝－3，解得r＝6，∴的系数为C37－6(－1)6＝21，故选A.6．已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为()A．10B．－10C．80D．－80解析：选Da＝2cosdx＝2sin＝－2，展开式的通项为Tr＋1＝C(－2)rx10－3r，令10－3r＝1，则r＝3，T4＝C(－2)3x＝－80x.7．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87解析：选B1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.8．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3解析：选B∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大的项的系数最大，∴(1＋x)6的展开式系数最大的项为T4＝Cx3＝20x3.二、填空题9．若a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，则a2＋a3＋a4＝________.解析：x4＝[(x－1)＋1]4＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C，对照a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，得a2＝C，a3＝C，a4＝C，所以a2＋a3＋a4＝C＋C＋C＝14.答案：1410．若(x2＋ax＋1)6(a＞0)的展开式中x2的系数是66，则sinxdx的值为________．解析：由题意可得(x2＋ax＋1)6的展开式中x2的系数为C＋Ca2，故C＋Ca2＝66，∴a＝2或a＝－2(舍去)．故sinxdx＝sinxdx＝(－cosx)＝1－cos2.答案：1－cos211．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤7，则n＝________.解析：由题意得n的展开式的通项Tr＋1＝Cxn－r·x－3r＝Cxn－4r中不含x0，x－1，x－2，所以n－4r＝0，n－4r＝－1和n－4r＝－2在条件n∈N*，且2≤n≤7下均无解，则n＝5.答案：512．(2016·合肥质检)若n展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项的系数为________．解析：Tr＋1＝C()n－rr＝(－3)r·Cx，因为展开式的各项系数绝对值之和为C＋|(－3)1C|＋(－3)2C＋|(－3)3C|＋…＋|(－3)nC|＝1024，所以(1＋3)n＝1024，解得n＝5，令＝1，解得r＝1，所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C＝－15.答案：－15三、解答题13．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解：(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，∴2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.14．已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为Tk＋1＝Cxkx－.＝Ckx.因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.(2)令＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C2＝.(3)根据通项公式，由题意得令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，∵k∈N，∴r应为偶数，∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2.
