空间向量与平行关系A级基础巩固一、选择题1．平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定解析：因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，所以两法向量垂直，从而两平面也垂直．答案：C2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)解析：AB＝(2，4，6)，而与AB共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．答案：A3．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内解析：因为AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，所以AB与CD，CE共面．所以AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.答案：D4．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝()A．2∶3∶(－4)B．1∶1∶1C.∶1∶1D．3∶2∶4解析：AB＝，BC＝(－3，2，0)，因为平面α的法向量为a＝(x，y，z)，所以取y＝3，则x＝2，z＝－4.所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4)．答案：A5．若向量a＝(1，－2，1)，b＝(1，0，2)，则下列向量可作为向量a，b所在平面的一个法向量的是()A．(4，－1，2)B．(－4，－1，2)C．(－4，1，2)D．(4，－1，－2)答案：B二、填空题6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．解析：因为α∥β，所以u1∥u2.所以＝＝.所以y＝1，z＝－4.所以y＋z＝－3.答案：－37．已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y＝________，z＝________．1解析：因为AB＝(－1，2－y，z－3)，AB∥v，故＝＝，故y＝，z＝.答案：8．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．解析：由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量OA＝(1，1，1)，因为P∈α，所以OA⊥AP，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3.答案：x＋y＋z＝3三、解答题9．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是MN＝，DA1＝(1，0，1)，DB＝(1，1，0)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以MN⊥n.又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.法二因为MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，所以MN∥DA1，而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.10．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求证：MN∥平面PCD.解：由题设知，在Rt△AFD中，AF＝FD＝，2A(0，0，0)，B(1，0，0)，F，D，P(0，0，2)，M(0，0，1)，N.MN＝，PF＝，PD＝.设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令z＝，得n＝(0，4，)．因为MN·n＝·(0，4，)＝0，所以MN⊥n.又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.B级能力提升1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面()A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交解析：因为AB＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB∥平面yOz.答案：C2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，则平面ABC的一个单位法向量为________．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．因为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，所以AB＝(－2，1，3)，BC＝(1，－1，0)，则有即解得令z＝1，则x＝y＝3.故平面ABC的一个法向量为n＝(3，3，1)．故平面ABC的一个单位法向量为或－，即(3，3，1)或－(3，3，1)．答案：或3．如图所示，四棱柱PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝...
