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高中数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2.2 空间中的平面与空间向量课时作业(含解析)新人教B版选择性必修第一册-新人教B版高二选择性必修第一册数学试题VIP免费

高中数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2.2 空间中的平面与空间向量课时作业(含解析)新人教B版选择性必修第一册-新人教B版高二选择性必修第一册数学试题_第1页
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课时作业(五)空间中的平面与空间向量一、选择题1.设平面α的法向量为(1,-2,2),平面β的法向量为(2,λ,4),若α∥β,则λ等于()A.2B.4C.-2D.-42.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为()A.10B.-10C.D.-3.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量可表示为()A.a=(-1,2,-2)B.a=C.a=D.a=4.已知AB=(-3,1,2),平面α的一个法向量为n=(2,-2,4),点A不在平面α内,则直线AB与平面α的位置关系为()A.AB⊥αB.AB⊂αC.AB与α相交但不垂直D.AB∥α二、填空题5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,点G是P在平面ABC内的射影,则G是△ABC的________.6.已知l∥α,且l的方向量为(2,-8,1),平面α的法向量为(1,y,2),则y=________.7.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面ABCD的法向量;④AP∥BD.其中正确的是________(填序号).三、解答题8.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.1[尖子生题库]10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3,试证明平面AMC⊥平面BMC.课时作业(五)空间中的平面与空间向量1.解析:∵α∥β,∴(1,-2,2)=m(2,λ,4),∴λ=-4.答案:D2.解析:因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,即-x-2-8=0,解得x=-10.答案:B3.解析:设平面ABC的法向量为a=(x,y,z),则有∴,令z=1,得y=-1,x=,∴a=故平面ABC的一个单位法向量为a=.答案:C4.解析:因为n·AB=2×(-3)+(-2)×1+4×2=0,所以n⊥AB.又点A不在平面α内,n为平面α的一个法向量,所以AB∥α,故选D.答案:D5.解析:连接AG,BG(图略),则AG,BG分别为AP,BP在平面ABC内的射影.因为PA⊥BC,所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC,同理,BG⊥AC,所以G是△ABC的垂心.答案:垂心6.解析:∵l∥α,∴(2,-8,1)·(1,y,2)=0,而2×1-8y+2=0,2∴y=.答案:7.解析:AP·AB=(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=-1×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0,∴AP⊥AB,即①正确.AP·AD=(-1,2,-1)·(4,2,0)=-1×4+2×2+(-1)×0=0.∴AP⊥AD,即②正确.又∵AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,即AP是平面ABCD的一个法向量,③正确.④不正确.答案:①②③8.证明:如图,取BC的中点O,连接AO交BD于点E,连接PO.因为PB=PC,所以PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为AO.在直角梯形ABCD中,由于AB=BC=2CD,易知Rt△ABO≌Rt△BCD,所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,即AO⊥BD.由三垂线定理,得PA⊥BD.9.解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(0,a,e)(0≤e≤a).(1)A1E=(-a,a,e-a),BD=(-a,-a,0),A1E·BD=a2-a2+(e-a)·0=0,∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.(2)设平面A1BD,平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).∵DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a),DE=(0,a,e).∴即取x1=x2=1,得n1=(1,-1,-1),n2=.由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.∴n1·n2=2-=0,即e=.∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.10.证明:建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-34,2,0),P(0,0,4),(1)AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以AP⊥BC,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,所以AM=AP=.又因为BA=(-4,-5,0),所以BM=BA+AM=,则AP·BM=(0,3,4)·=0,所以AP⊥BM,即AP⊥BM.又根据(1)的结论知AP⊥BC,BM∩BC=B,所以AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又因为AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.4

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