3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．若z－3＋5i＝8－2i，则z等于()A．8－7iB．5－3iC．11－7iD．8＋7i解析：z＝8－2i－(－3＋5i)＝11－7i.答案：C2．若复平面上的▱ABCD中，AC对应的复数为6＋8i，BD对应的复数为－4＋6i，则DA对应的复数是()A．2＋14iB．1＋7iC．2－14iD．－1－7i解析：设AC与BD交于点O，则有DA＝DO＋OA＝DB＋CA＝－(AC＋BD)．于是DA对应的复数为－[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i.答案：D3．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，在复平面内对应的点为(2，5)，故选A.答案：A4．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚线，则z等于()A．－3B．3C．－3iD．3i解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，所以即又因为|z|＝＝3，所以x＝0，y＝3，即z＝3i.答案：D5．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，θ∈R，则|z1－z2|的最大值为()A．5B.C．6D.解析：|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝＝＝≤.答案：D二、填空题6．在复平面内，若OA、OB对应的复数分别为7＋i、3－2i，则|AB|＝________．解析：|AB|＝|OB－OA|＝|－4－3i|＝＝5.答案：57．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝____________．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，因为z＋2i是实数，所以b＝－2，1又|z|＝4，所以a2＋b2＝16，所以a＝±2.所以z＝±2－2i.答案：±2－2i8．在复平面内，复数z1、z2、z的对应点分别为Z1、Z2、Z，已知OZ＝OZ1＋OZ2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈R)，则a＋b＝________．解析：由条件知z＝z1＋z2，所以(1＋ai)＋(b－2i)＝3＋4i，即(1＋b)＋(a－2)i＝3＋4i，由复数相等的条件知，1＋b＝3且a－2＝4，解得a＝6，b＝2，a＋b＝8.答案：8三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又因为z＝13－2i，且x，y∈R，所以解得所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.B级能力提升1．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量表示正确的是()ABCD解析：由题图知，z＝－2＋i，所以z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，易知选A.答案：A2．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，α，β为实数，且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．解析：因为z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，所以z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，所以①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝.答案：3．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．2解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离．又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.3
