高考达标检测（三十九）抛物线命题3角度——求方程、研性质、判关系一、选择题1．(2017·江西九校联考)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选D依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．2．(2016·运城期末)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y解析：选D设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.4．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.5．(2017·铜川一模)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.6．(2016·长春一模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A.B.C.D.解析：选A记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝＝＝，即cos60°＝＝，由此得＝.二、填空题7．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.答案：8．(2017·长春二模)过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l的方程为y＝x－1，与抛物线方程联立，得消去x，得y2－4y－4＝0，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，|y1－y2|＝＝4，从而△OAB的面积为××|y1－y2|＝2.答案：29．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝5，则|BF|＝________.解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋1＝5⇒x1＝4，y＝4x1＝16，根据对称性，不妨设y1＝4，∴直线AB：y＝x－，代入抛物线方程可得，4x2－17x＋4＝0，∴x2＝，∴|BF|＝x2＋1＝答案：三、解答题10．已知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．解：(1)易知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为＝p，解得m＝±，所以直线l的斜率为±.(2)由(1)知直线l的方程为x＝±y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝y＋p，联立消去x得y2－4py－4p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2，所以|AB|＝·＝16p，因为△WAB的面积为8，所以p×16p＝8，得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝4x.11．(2017·绵阳南山中学月考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q.(1)若点P(0,2)与点F的连线恰好过点A，且∠PQF＝90°，求抛物线的方程；(2)设点M(m,0)在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．解：(1)由题意知|AQ|＝|AF|， ∠PQF＝90°，∴A为PF的中点． F，∴A，且点A在抛物线上，∴1＝2p·，解得p＝，∴抛物线的方程为y2＝2x.(2)设A(x，y)...
