第61讲求轨迹方程的基本方法1．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是(D)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，因为PA·PB＝x2，所以(－2－x)·(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.2．已知F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是(A)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段由于|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2，所以P点轨迹为椭圆．3．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y＋2＝0对称曲线的方程是(D)A．f(x＋2，y)＝0B．f(x－2，y)＝0C．f(y＋2，x－2)＝0D．f(y－2，x＋2)＝0设(x0，y0)是f(x，y)＝0上任一点，它关于x－y＋2＝0的对称点为(x，y)，则解得又f(x0，y0)＝0，所以f(y－2，x＋2)＝0.4．设A1、A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(C)A.＋＝1B.＋＝1C.－＝1D.－＝1设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)．因为A1、P1，P三点共线，所以＝，①因为A2、P2，P三点共线，所以＝，②解①②得x0＝，y0＝，代入＋＝1，化简得－＝1.5．在圆x2＋y2＝9中，过已知点P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为(x－)2＋(y－1)2＝.设弦的中点为M，则OM⊥PM.所以M在以OP为直径的圆上，故所求轨迹方程为(x－)2＋(y－1)2＝.6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2，则圆心P的轨迹方程为y2－x2＝1.设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3，所以P点的轨迹方程为y2－x2＝1.7．设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|－d＝2的点P的轨迹方程．(方法一)设P的坐标为(x，y)，由|PF|＝2＋d，得＝2＋|x|，即(x－2)2＋y2＝(2＋|x|)2.所以y2＝4|x|＋4x.当x≥0时，y2＝8x；当x<0时，y2＝0即y＝0.故所求轨迹方程为y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)．(方法二)由题意|PF|＝2＋d，当P在y轴右侧时，可转化为|PF|＝x＋2，即点P到定点F的距离等于到定直线l：x＝－2的距离，所以点P在抛物线y2＝8x上．当P点在y轴左侧时，|PF|＝2－x，即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x＝2的距离，从而有y＝0(x<0)．综上可知，所求轨迹方程为y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)．8．点P是以F1、F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点M，则点M的轨迹是(D)A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆连接OM，延长F2M交F1P的延长线于点Q，则|PQ|＝|PF2|.所以|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.因为OM为△F1F2Q的中位线，所以|OM|＝|QF1|＝a.因此点M的轨迹是圆．故选D.9．直线l与椭圆＋y2＝1交于P、Q两点，已知l的斜率为1，则弦PQ中点的轨迹方程为x＋4y＝0(－＜x＜).设M(x，y)为PQ中点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则①－②，得kPQ＝＝－＝－·＝1.所以x＋4y＝0.则M(x，－)，因为M在椭圆内，所以＋(－)2＜1，解得－＜x＜.所以所求轨迹方程为x＋4y＝0(－＜x＜)．10．(2016·新课标卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．由题意知F(，0)．设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A(，a)，B(，b)，P(－，a)，Q(－，b)，R(－，)．记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，S△PQF＝.由题设可得2×|b－a||x1－|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D(1,0)重合．所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
