3.2一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法（习题课）A级基础巩固一、选择题1．不等式4x2≥4x－1的解是()A．全体实数B．∅C．x≠D．x＝解析：4x2≥4x－1⇒4x2－4x＋1≥0⇒(2x－1)2≥0⇒x∈R.答案：A2．不等式＞0的解集是()A．(－2，1)B．(2，＋∞)C．(－2，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：＞0⇔(x－1)(x2－4)＞0⇔(x－1)(x－2)(x＋2)＞0，设f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋2)，则f(x)的三个零点是－2，1，2.其示意图为：故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1或x＞2}．答案：C3．不等式≥1的解集是()A.B.C.D．{x|x＜2}解析：≥1⇔－1≥0⇔≥0⇔≤0⇔解得：≤x＜2.答案：B4．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为()A．{x|x＜－1或x＞lg2}B．{x|－1＜x＜lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}解析：由题意知，一元二次不等式f(x)＞0的解集为.而f(10x)＞0，所以－1＜10x＜，解得x＜lg，即x＜－lg2.答案：D5．设f(x)＝则不等式f(x)＞2的解集为()A．(1，2)∪(3，＋∞)B．(1，2)∪(，＋∞)C．(，＋∞)D．(1，2)解析：因为f(x)＝所以不等式f(x)＞2等价于不等式组或分别解得1＜x＜2，x＞.答案：B二、填空题6．若x∈R，不等式ax2＋4x＋4≥－2x2＋1恒成立，则实数a的范围是________．解析：不等式ax2＋4x＋4≥－2x2＋1恒成立，⇔1(a＋2)x2＋4x＋3≥0恒成立．⇔⇒a≥－，故所求实数a的取值范围是.答案：7．偶函数y＝f(x)和奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4，4]，f(x)在[－4，0]，g(x)在[0，4]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集为______________．解析：由已知得当x∈(－4，－2)∪(2，4)时，f(x)＞0，当x∈(－2，2)时，f(x)＜0，当x∈(－4，0)时，g(x)＞0，x∈(0，4)时，g(x)＜0.所以当x∈(－2，0)∪(2，4)时，＜0.所以不等式＜0的解集为{x∈R|－2＜x＜0或2＜x＜4}．答案：{x∈R|－2＜x＜0或2＜x＜4}8．关于x的方程＋x＋m－1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m的取值范围是________．解析：若方程＋x＋m－1＝0有一个正实根和一个负实根，则有或所以0＜m＜1或∅.答案：(0，1)三、解答题9．已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4＞0的解集为R.求m的取值范围．解：因为y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4为二次函数，所以m≠2.因为二次函数的值恒大于零，即(m－2)x2＋2(m－2)x＋4＞0的解集为R.所以即解得：所以m的取值范围为{m|2＜m＜6}．10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋3，解关于a的不等式f(1)≥0.解：f(1)＝－3＋a(6－a)＋3＝a(6－a)，因为f(1)≥0，所以a(6－a)≥0，a(a－6)≤0，方程a(a－6)＝0有两个不等实根a1＝0，a2＝6，由y＝a(a－6)的图象，得不等式f(1)≥0的解集为{a|0≤a≤6}．B级能力提升1．若实数α，β为方程x2－2mx＋m＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为()A．8B．14C．－14D．－解析：因为Δ＝(－2m)2－4(m＋6)≥0，所以m2－m－6≥0，所以m≥3或m≤－2.(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m)2－2(m＋6)－2(2m)＋2＝4m2－6m－10＝4－，因为m≥3或m≤－2，所以当m＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.答案：A2．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升．2依题意，得x－8－≤28%·x.由于x＞0，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0.解得≤x≤.又x＞8，所以8＜x≤.答案：3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过A(t1，y1)、B(t2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)求证：y1＝－a或y2＝－a；(2)求证：函数f(x)的图象必与x轴有两个交点．证明：(1)因为a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，所以(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.(2)当a＞0时，二次函数f(x)的图象开口向上，图象上的点A或B的纵坐标为－a＜0，所以图象与x轴有两个交点；当a＜0时，二次函数f(x)的图象开口向下，图象上的点A或B的纵坐标为－a＞0，所以图象与x轴有两个交点．故二次函数f(x)的图象与x轴有两个交点．3
