一第三课时参数方程和普通方程的互化[课时作业][A组基础巩固]1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为()A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A.答案：A2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是()A．直线B．圆C．线段D．射线解析：x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．答案：C3．直线y＝2x＋1的参数方程是()A.B.C.D.解析：由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C正确．答案：C4．下列各组方程中，表示同一曲线的是()A.与xy＝1B.(θ为参数)与(θ为参数)C.(θ为参数且a≠0)与y＝xD.(a＞0，b＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与＋＝1解析：A中前者x＞0，y＞0，后者x，y∈R，xy≠0；C中前者x∈[－|a|，|a|]，y∈[－|b|，|b|]，后者无此要求；D中若0≤θ＜2π，则二者相同．答案：B5．参数方程(t为参数且t∈R)代表的曲线是()A．直线B．射线C．椭圆D．双曲线解析： x＝2t＋21－t＝2－t(22t＋2)，y＝2t－1＋2－t＝2－t(22t－1＋1)＝×2－t(22t＋2)，∴y＝x，且x≥2，y≥，故方程表示的是一条射线．答案：B6．方程(t是参数)的普通方程是________，与x轴交点的直角坐标是________．解析：由y＝t2－1，得t2＝y＋1，代入x＝3t2＋2，可得x－3y－5＝0，又x＝3t2＋2，所以x≥2，当y＝0时，t2＝1，x＝3t2＋2＝5，所以与x轴交点的坐标是(5,0)．答案：x－3y－5＝0(x≥2)(5,0)17．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，得x＝，y＝，所以参数方程为(t为参数)．答案：(t为参数)8．将参数方程(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为－1.答案：(x－1)2＋y2＝1－19．化普通方程x2＋y2－2x＝0为参数方程．解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y＝kx，选择直线的斜率k为参数，不同的k值，对应着不同的点(异于原点)，所以故(1＋k2)x2－2x＝0，得x＝0或x＝.将x＝代入y＝kx中，得y＝.所以(k为参数)是原曲线的参数方程．10．参数方程(θ为参数)表示什么曲线？解析：显然＝tanθ，则＋1＝，cos2θ＝，x＝cos2θ＋sinθcosθ＝sin2θ＋cos2θ＝×＋cos2θ，即x＝×＋，x＝＋1，得x＋＝，即x2＋y2－x－y＝0.该参数方程表示圆．[B组能力提升]1．参数方程(t为参数)表示的图形为()A．直线B．圆C．线段(但不包括右端点)D．椭圆解析：从x＝中解得t2＝，代入y＝中，整理得到2x＋y－5＝0.但由t2＝≥0解得0≤x<3.所以化为普通方程为2x＋y－5＝0(0≤x<3)，表示一条线段，但不包括右端点．答案：C2．参数方程(t为参数)表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：方程⇒⇒它表示以点和点为端点的线段，故关于x轴对称．答案：A3．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－＜x≤)和y2＝x，联立解得交点坐标为.答案：4．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝________.解析：直线l1化为普通方程是y－2＝－(x－1)，该直线的斜率为－.直线l2化为普通方程是y＝－2x＋1，该直线的斜率为－2，则由两直线垂直的充要条件，得·(－2)＝－1，即k＝－1.2答案：－15．已知方程y2－6ysinθ－2x－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0(0≤θ＜2π)．(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解析：(1)证明：方程y2－6ysinθ－2x－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0可配方为(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ)，∴图象为抛物线．设其顶点为(x，y)，则有消去θ，得顶点轨迹是椭圆＋＝1.∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆＋＝1上的抛物线．(2)联立消去x，得y2－6ysinθ＋9sin2θ＋8cosθ－28＝0，弦长|AB|＝|y1－y2|＝4，当cosθ...
