3.2.1导数与函数的单调性A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)【解析】函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.【答案】D2．(2017·黄冈调研)已知a≥1，f(x)＝x3＋3|x－a|，若函数f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M－m的值为()A．8B．－a3－3a＋4C．4D．－a3＋3a＋2【解析】当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3＋3(a－x)＝x3－3x＋3a(a≥1)，∴f′(x)＝3(x－1)(x＋1)．当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以原函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，所以M＝f(－1)＝3a＋2，m＝f(1)＝3a－2，所以M－m＝4.【答案】C3．(2017·成都外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()【解析】设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．【答案】A4．(2017·长春调研)已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．【答案】A5．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a【解析】依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜＜1，因此有f(－1)＜f(0)＜f，即有f(3)＜f(0)＜f，c＜a＜b.【答案】C6．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0，1)．【答案】(0，1)7．(2017·上饶模拟)f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则a的取值范围是________．【解析】由f′(x)＝3x2－3＞0，解得单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，f′(x)＜0得单调递减区间为(－1，1)．要有3个不同零点需满足解得a∈(－2，2)．【答案】(－2，2)8．(2017·成都一诊)已知函数f(x)＝－2x2＋lnx(a＞0)．若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是________．【解析】f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1，2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－在[1，2]上恒成立．令h(x)＝4x－，则h(x)在[1，2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.【答案】∪[1，＋∞)9．(2017·武汉武昌区联考)已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．【解析】(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2017·沈阳质检)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋b.(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．【解析】(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.又 g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.(2) φ(x)＝－f(x)＝－lnx在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)， x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.故实数m的取值范围是(－∞，2]．B组专项能力提升(时间：25分钟)11．(2017·渭南模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如下图所示，则导函数f′(x)的图象可能是()【解析】由f(x)的图象可知，当x＜0时，是减函数，f′(x)＜0，排除C、D两项，当x＞0时，函数的单...
