第70讲直线与圆锥曲线夯实基础【p159】【学习目标】1．掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．2．掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法．3．能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题．4．理解数形结合的思想．【基础检测】1．过原点的直线l与双曲线－＝1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是()A
∪【解析】双曲线的渐近线为y＝x和y＝－x
由几何性质可得－0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为()A
D．1【解析】由e＝＝得＝＝，∴a2＝4b2，则椭圆方程为x2＋4y2＝4b2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，把A，B的坐标代入椭圆方程得两式相减得：(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)，则＝－＝，∴直线l的斜率为
【答案】C4．直线l与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，l与x轴，y轴分别相交于C，D两点．如果C，D是线段AB的两个三等分点，则直线l的斜率为________．【解析】由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(km≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C，D(0，m)，联立可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2－8m2＋8>0，由韦达定理可得x1＋x2＝，x1x2＝， C，D是线段AB的两个三等分点，∴线段AB的中点与线段CD的中点重合．∴x1＋x2＝＝0－，解得k＝±
【答案】±【知识要点】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．即，消去y后得ax2＋bx＋c＝0
