高二数学（理）抛物线知识精讲人教实验版（A）一.教学内容：抛物线二.重点、难点：1.定义：平面内到定点F与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线。2.标准方程：，3.性质：（1）对称性：关于x轴对称，关于y轴对称（2）顶点：（0，0）（3）离心率：4.参数方程：（为参数）【典型例题】[例1]求焦点在直线上的抛物线标准方程。解：与坐标轴交点为（4，0）（0，）∴所求抛物线方程[例2]焦点在轴的抛物线与圆相交，它们在轴上方交点为A、B，线段AB的中点在直线上，求抛物线的方程。解：①方程的根为负数与矛盾②方程的根为正数与矛盾∴AB（）AB中点（，）用心爱心专心若中点在上∴[例3]P为平面上一点，过P作与抛物线只有一个交点的直线可以作几条？解：①只有一条②在曲线上只有两条③只有三条[例4]顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线方程。解：或∴或[例5]过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B，求证：。证明：①斜率不存在，，②斜率存在用心爱心专心[例6]O为原点，A、B为抛物线，上两点，并且OA⊥OB，①求最小值；②弦AB中点M到直线距离最小值。解：①：：（）②A（）B（）∴M（）（M，）[例7]求证：抛物线的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为0。证明：设A（，）B（，）C（，）D（，）在抛物线上AB中点M（，）N（，）①若轴显然成立②AB、CD均不垂直于轴同理：用心爱心专心∴∴[例8]抛物线（）的焦点F，过F的弦AB长为，O为原点，求。解：①AB斜率不存在②AB斜率存在，设为综上所述[例9]抛物线上，存在P、Q两点，并且P、Q关于直线对称，求的取值范围。解：方法一：设P（，）Q（，）∴∴∴用心爱心专心∴方法二：∴在形内[例10]已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF＝λFB（λ＞0）。过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）证明FM·AB为定值；（2）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值。解：（1）由已知条件，得F（0，1），λ＞0设A（x1，y1），B（x2，y2）由AF＝λFB即得（－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1）将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝x1（x－x1）＋y1，y＝x2（x－x2）＋y2即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22解出两条切线的交点M的坐标为（，）＝（，－1）所以FM·AB＝（，－2）·（x2－x1，y2－y1）＝（x22－x12）－2（x22－x12）＝0所以FM·AB为定值，其值为0（2）由（1）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM||FM|＝＝＝＝＝＋因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝（＋）2于是S＝|AB||FM|＝（＋）3由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4【模拟试题】1.抛物线的焦点F，准线交轴于R，过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥于Q，则（）A.12B.14C.16D.18用心爱心专心2.抛物线与椭圆的公共弦长为（）A.1B.C.2D.3.已知A、B是抛物线上两点，O为原点，若且的垂心恰为抛物线的焦点，则AB的直线方程为（）A.B.C.D.4.抛物线与直线交于两点，它们横坐标为，，直线与轴交点为（）则，，关系为（）A.B.C.D.5.已知动点P（，）满足，则P点轨迹为（）A.抛物线B.直线C.双曲线D.椭圆6.两定点A（，），B（2，）动点P在抛物线上移动，则垂心G的轨迹方程为（）A.B.C.D.7.P为抛物线上一点，A（，0），最小值为，求。8.已知抛物线C：及A（2，1），P、Q为抛物线上动点①的最小值；②的最大值。参考答案http://www.dearedu.com1.B2.C3.D4.C5.A6.B7.解：用心爱心专心设P（，）为抛物线上一点①②时∴8.解：①P（，1）②此Q（，）用心爱心专心
