（全国通用）高考数学 考点一遍过 专题20 平面向量的数量积及向量的应用（含解析）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

20平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,ab，我们把数量||||cosab叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab,即ab||||cosab，其中θ是a与b的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ，则||cosa(||cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形，其中1OB||cosa，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是向量1OB�的长度.1（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到ab的几何意义：数量积ab等于a的长度||a与b在a方向上的投影||cosb的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量,,abc和实数,则①交换律：abba；②数乘结合律：()()abab=()ab；③分配律：()abc=acbc.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)xyxyab，是a与b的夹角.（1）数量积：ab1212||||cosxxyyab.（2）模：2211||xyaaa.（3）夹角：cos||||abab121212122222xxyyxyxy.（4）垂直与平行：0abab12120xxyy；a∥b⇔a·b=±|a||b|.【注】当a与b同向时,||||abab；当a与b反向时,ab||||ab.（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔121212222212||xxyyxyxy.三、平面向量的应用21．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)xyxyab.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：∥abab1221xyxy0(0)b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0abab1212xxyy0（其中,ab为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a与b的夹角为，利用夹角公式：cos||||abab121212122222xxyyxyxy（其中,ab为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||a1122xy，或||||ABAB�223434()()xxyy（其中,AB两点的坐标分别为3344(,),(,)xyxy）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.2．向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.（2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W||||cos(FsFs为F和s的夹角).考向一平面向量数量积的运算3平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab||||cosab；二是坐标公式ab1212xxyy.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1已知向量1,2a，向量b满足2b，,ab的夹角为π3，则abA．5B．2C．3D．2【答案】A1．如图，在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，且2DFFC�，则AEBF�的值是．4考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos||||abab(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝...