高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数课时作业 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数课时作业新人教A版选修1-2明目标、知重点1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；(4)除法：＝＋i(z2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．(2)复数z＝a＋bi的模，|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量OZ1、OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．题型一复数的四则运算例1(1)计算：＋2012＋；(2)已知z＝1＋i，求的模．解(1)原式＝＋1006＋＝i＋(－i)1006＋0＝－1＋i.(2)＝＝＝1－i，∴的模为.反思与感悟复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1(1)已知＝2＋i，则复数z等于()A．－1＋3iB．1－3i1C．3＋iD．3－i答案B解析方法一 ＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.方法二设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴＝a－bi，∴＝2＋i，∴，z＝1－3i.(2)i为虚数单位，则2011等于()A．－iB．－1C．iD．1答案A解析因为＝＝i，所以2011＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i，故选A.题型二复数的几何意义例2已知点集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．解点集D的图象为以点C(－1，－)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|OP|＝|z|.由图知，当OP过圆心C(－1，－)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－1＝2－1＝1，即|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．跟踪训练2已知复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝，求|z1＋z2|的值．解如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以OA，OB为邻边作▱OACB，则OC对应的复数为z1＋z2.这里|OA|＝3，|OB|＝5，|BA|＝.∴cos∠AOB＝＝＝.∴cos∠OBC＝－.又|BC|＝|OA|＝3，∴|z1＋z2|＝|OC|＝＝.2题型三两个复数相等例3设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.解设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为4z＋2＝3＋i，所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋.根据复数相等的充要条件，得解得所以z＝＋.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3关于x的方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0有非零实根，求实数a的值及方程的实数根．解设方程的实数根为b(b≠0)，代入方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0，化为b2＋3b＋(2b＋3a)i＝0.所以已知b≠0，解得b＝－3，a＝2.故实数a的值及方程的实数根分别为2和－3.1．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是()A．2B．3C．4D．5答案B2．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2014为()A．1＋iB．1－iC．iD．1答案C3．设复数z满足关系：z＋||＝2＋i，那么z等于()A．－＋iB.＋iC．－－iD.－i答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知a＋bi＋＝2＋i由复数相等可得，∴，故z＝＋i.4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________．答案3解析z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，所以2－m＝3m－1，即m＝，且能使2－m＝3m－...