证明面面垂直与计算异面直线所成角【母题来源】2015新课标1理-18【母题原题】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【考点定位】本题考查空间垂直判定与性质、异面直线所成角的计算、空间想象能力、推理论证能力，是基础题.【命题意图】本题考查线面垂直的判定、面面垂直的判定、异面直线所成角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力及利用空间向量处理立体几何问题的运算求解能力.【方法、技巧、规律】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角；思路2：向量法，计算出两条异面直线的方向向量的夹角的余弦值，异面直线所成角的余弦值就是向量夹角余弦值的绝对值.【探源、变式、扩展】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角，思路也有两种，几何法与坐标法，几何法运算量小，但辅助线不易做，坐标法思路明晰，但运算量大，容易出错.【变式】【2015届浙江省东阳市5月模拟】如图，已知平面,为等边三角形.（1）若平面平面，求CD长度；（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．【答案】（1）；（2）．1.【2015届江苏省宿迁市一摸】如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，，．（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．2.【2015届贵州省贵阳市上学期期末监测】如图，已知四棱锥中，平面，，，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.，即二面角的平面角的余弦值为.3.【2015届湖南省益阳市高三四月调研考试理科数学试卷】（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．4.【2015届海南省高三5月模拟】如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）5.【2015届江西省鹰潭市第一次模拟】在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，，，．（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值的大小．【答案】（1）证明如下；（2）；6.【2015届天津市南开区一模】如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．7.【2015届江西省吉安市一中第二次阶段考试】如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45°.8.【2015届陕西西北工业大学附中下学期四模】如图，三棱柱中，平面，，，点在线段上，且，．（Ⅰ）求证：直线与平面不平行；（Ⅱ）设平面与平面所成的锐二面角为，若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面平面，求直线与所...
