课时作业60曲线与方程一、选择题1．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)()解析：原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．答案：B2．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案：D3．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析： AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设点C(x，y)由题意可知×5×＝10，∴4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案：B4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析：M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：D5．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为()A．x2－6x－10y＋24＝0B．x2－6x－6y＋24＝0C．x2－6x－10y＋24＝0或x2－6x－6y＝0D．x2－8x－8y＋24＝0解析：本题满足条件|PA|＝|y|＋1，即＝|y|＋1，当y>0时，整理得x2－6x－10y＋24＝0；当y≤0时，整理得x2－6x－6y＋24＝0，变为(x－3)2＋15＝6y，此方程无轨迹．答案：A6．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PM＝λMQ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PM＝λMQ得(λ>0)∴，由x＋y＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1(λ>0)，∴点M的轨迹为椭圆．答案：B二、填空题7．设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为________．解析：如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|PM|＝|OM|＋|AM|，即|OM|＋|AM|＝10，也就是说，动点M到O(0,0)及A(8,0)的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)，A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．答案：椭圆8．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1， a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)9．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是________．解析：由OQ＝PF1＋PF2，又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝－(x，y)＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.答案：＋＝1三、解答题10．已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M(，0)的直线l与曲线E交于点A，B，且MB＝－2MA.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程．解：设A(x0，y0)， B(0,2)，M(，0)，故MB＝(－，2)，MA＝(x0－，y0)．由于MB＝－2MA，∴(－，2)＝－2(x0－，y0)．∴x0＝，y0＝－1，即A(，－1)． A，B都在曲线E上，∴，解得.∴曲线E的方程为x2＋＝1.11．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得 P在圆上，∴x2＋(y)2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.1．在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，PQ⊥...
