专题过关检测（十二）解三角形的综合问题1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos2C＝7.(1)求tanC的值；(2)若c＝，sinB＝2sinA，求a，b的值．解：(1)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以＝－，则sin＝cos.由8sin2－2cos2C＝7，得8cos2－2cos2C＝7，所以4(1＋cosC)－2(2cos2C－1)＝7，即(2cosC－1)2＝0，所以cosC＝.因为0＜C＜π，所以C＝，于是tanC＝tan＝.(2)由sinB＝2sinA，得b＝2a.①又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝3.②联立①②，解得a＝1，b＝2.2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.3．(2019·长春质监)如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝.(1)求AC的长；(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．解：(1)因为cos∠ACB＝，所以sin∠ACB＝，由正弦定理得AC＝sin∠ABC＝2.(2)因为CD⊥BC，所以∠ACD＝90°－∠ACB，所以cos∠ACD＝sin∠ACB＝.设AD＝2m，则CD＝3m.由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD·cos∠ACD，即4m2＝4＋9m2－2×2×3m×，解得m＝1或m＝.当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.当m＝时，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.综上，△ACD的面积为或.4．设函数f(x)＝sinx(cosx＋sinx)－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f(B)＝1，b＝2，且b(2－cosA)＝a(cosB＋1)，求△ABC的面积．解：(1)由已知得，f(x)＝sin2x＋－＝sin2x－cos2x＝sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)因为f(B)＝1，所以sin＝1，因为B是三角形的内角，所以2B－＝，B＝，又因为b(2－cosA)＝a(cosB＋1)，由正弦定理得sinB(2－cosA)＝sinA(cosB＋1)，所以2sinB＝sinA＋sinAcosB＋cosAsinB＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sinC，所以2b＝a＋c，因为b＝2，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－ac⇒b2＝(a＋c)2－3ac⇒ac＝b2＝4.所以S＝acsinB＝×4×sin＝，故△ABC的面积为.5．(2020届高三·石家庄摸底)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA＋bsinB＋bsinA＝csinC.(1)求C；(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．解：(1)因为asinA＋bsinB＋bsinA＝csinC，所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.由余弦定理得cosC＝＝－，又0
