第3课时空间向量与空间角、距离[课时作业][A组基础巩固]1．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，PC＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，所以cos〈PC，n〉＝＝－，所以〈PC，n〉＝120°，所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以PC与平面ABCD所成角为30°，故选A.答案：A2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B．C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.∴C1D1＝，则有B1(，0,0，)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．∴B1C＝(0,1，)，C1D＝(－，0，)．∴cos〈B1C，C1D〉＝＝＝.答案：A3．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.B.C.D．1解析： 平面α⊥平面β，且AC⊥l，BD⊥l，故AC⊥平面β，BD⊥平面α，依题意建立坐标系如图所示，在Rt△ACD中，可得CD＝，故A(0,0,1)，B(1，，0)，C(0，0,0)，D(0，，0)，则CA＝(0,0,1)，CB＝(1，，0)，CD＝(0，，0)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒x＝－y，z＝0，令y＝1，可得n＝(－，1,0)，故所求距离d＝＝＝.故选C.答案：C4.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为()A.B.C.D.1解析：以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则AM＝(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，QP＝(－1,0,2)，所以QP·AM＝0，所以QP与AM所成角为.答案：D5．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)，DC＝(0,1,0)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝，故选A.答案：A6．设A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，D(1，1,1)，则直线AD与平面ABC的夹角为________．解析：设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)． n·AB＝0，n·AC＝0，所以即∴令x＝1，则n＝(1,1,0)，∴cos〈n，AD〉＝＝，∴〈AD，n〉＝.∴直线AD与平面ABC的夹角θ＝－＝.答案：7．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.解析：设平面α的法向量为n1＝(x，y，z)，记A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0，a)(a＞0)，则AB＝(－3,4,0)，AC＝(－3,0，a)由题意知即取z＝3得n1＝(a，，3)，而n2＝(0,0,1)是平面xOy的一个法向量，则cos〈n1，n2〉＝＝＝，又a＞0，解得a＝.答案：8．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直．则B与D之间的距离为________．解析：由B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可求得AM＝，2BM＝，CN＝，DN＝.MN＝1.由于BD＝BM＋MN＋ND，∴|BD|2＝(BM＋MN＋ND)2＝|BM|2＋|MN|2＋|ND|2＋2(BM·MN＋MN·ND＋BM·ND)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝，∴|BD|＝.答案：9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0，0,1)，BA＝(－1,0,1)，CD＝(－1，－，0)，所以cos〈BA，CD〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10.如图，四棱锥PABCD中，P...
