第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义高效测评新人教A版选修1-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．若复数z1＝1＋5i，z2＝－3＋7i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i.答案：D2．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i解析：由z1＋z2＝0，得解得故选D.答案：D3．设向量OP，PQ，OQ对应的复数分别为z1，z2，z3，那么()A．z1＋z2＋z3＝0B．z1－z2－z3＝0C．z1－z2＋z3＝0D．z1＋z2－z3＝0解析：∵OP＋PQ－OQ＝OQ－OQ＝0.∴z1＋z2－z3＝0.答案：D4．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则BC表示的复数为()A．2＋8iB．－6－6iC．4－4iD．－4＋2i解析：BC＝OC－OB＝OC－(AB＋OA)＝(3,2)－(1,5)－(－2，1)＝(4，－4)．答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.解析：∵z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，∴a2＝12，∴a＝±2，∴z＝±2－2i.答案：±2－2i6．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为Z1，Z2，则这两点之间的距离为________．解析：由复平面内两点间的距离公式可得．答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.解析：z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，且x，y∈R.1∴解得∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.8．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量BA对应的复数是1＋2i，向量BC对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．解析：AC＝BC－BA＝(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．9.(10分)已知z1＝cosθ＋isinθ，z2＝cosα＋isinα(θ，α∈R)，求|z1＋z2|的取值范围．解析：方法一：∵z1＋z2＝cosθ＋isinθ＋cosα＋isinα＝(cosθ＋cosα)＋i(sinθ＋sinα)，∴|z1＋z2|2＝(cosθ＋cosα)2＋(sinθ＋sinα)2＝2＋2(cosθcosα＋sinθsinα)＝2＋2cos(θ－α)，由于(2＋2cos(θ－α))∈[0,4]，∴|z1＋z2|∈[0,2]．方法二：∵|z1|＝|z2|＝1，又||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，∴0≤|z1＋z2|≤2，即|z1＋z2|∈[0,2].2
