高考数学总复习 第4章 平面向量与复数第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时训练（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例1.(2013·扬州期末)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，若a⊥b，则k＝________．答案：2解析：∵a⊥b，∴a·b＝－2＋k＝0，故k＝2.2.(2013·盐城二模)若e1、e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1、e2的夹角为________．答案：π解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即(e1－2e2)·(5e1＋4e2)＝0，∴5e－6e1·e2－8e＝0，∴5－6cosθ－8＝0，即cosθ＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.3.(2013·福建)在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为________．答案：5解析：本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC⊥BC，所以四边形的面积为＝＝5.4.(2013·苏锡常镇一模)已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．答案：3解析：由|a|＝1，|2a－b|＝，得|a|2＝1，|2a－b|2＝10，∴4|a|2－4a·b＋|b|2＝10，即4|a|2－4|a||b|cos45°＋|b|2＝10，也就是4－2|b|＋|b|2＝10，解得|b|＝3(负值已舍去)．5.(2013·常州期末)已知向量a、b满足a＋2b＝(2，－4)，3a－b＝(－8，16)，则向量a、b的夹角的大小为________．答案：π解析：由a＋2b＝(2，－4)，3a－b＝(－8，16)，可得a＝(－2，4)，b＝(2，－4)，a＝－b，故两向量共线且反向，故夹角为π.6.已知正△ABC的边长为1，CP＝7CA＋3CB，则CP·AB＝________．答案：－2解析：CP·AB＝(7CA＋3CB)·(CB－CA)＝4CA·CB－7|CA|2＋3|CB|2＝4×1×1×cos－7＋3＝－2.7.(2013·苏州期末)已知向量a、b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．答案：解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，所以a2－a·b－2b2＝0，即1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以cosθ＝，所以－1≤≤1，即解得≤|b|≤1，故|b|的最小值为.8.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP·BP的最小值为________．答案：1解析：取AB中点D，连结CD，则CA＋CB＝2CD，∴AP·BP＝(AC＋CP)·(BC＋CP)＝AC·BC＋(AC＋BC)·CP＋|CP|2＝CA·CB－2CD·CP＋1＝(2)2cos－2×3×1×cos〈CD，CP〉＋1＝7－6cos〈CD，CP〉，∴当〈CD，CP〉＝0时，AP·BP取得最小值为7－6＝1.9.如图所示，在平行四边形OADB中，向量OA＝a，OB＝b，两条对角线交点为C，又BM＝BC，CN＝CD.(1)试用a、b表示MN；(2)若|MN|＝，|a|＝2，|b|＝6，求平行四边形OADB的面积．解：(1)∵MN＝MC＋CN，而BM＝BC，CN＝CD，∴MN＝BA＋OD＝(OA－OB)＋(OA＋OB)＝OA＋OB＝a＋b.(2)由(1)|MN|2＝＝a2＋·b2＋ab.∵|a|＝2，|b|＝6，记∠AOB＝θ，则|MN|2＝2＋2cosθ＝3，即cosθ＝，∴平行四边形OADB的面积为2×6×＝6.10.设平面向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx＋2，sinx)，c＝(sinα，cosα)，x∈R.(1)若a⊥c，求cos(2x＋2α)的值；(2)若x∈，证明：a和b不可能平行；(3)若α＝0，求函数f(x)＝a·(b－2c)的最大值，并求出相应的x值．(1)解：若a⊥c，则a·c＝0.cosxsinα＋sinxcosα＝0，即sin(x＋α)＝0.所以cos(2x＋2α)＝1－2sin2(x＋α)＝1.(2)证明：假设a和b平行，则cosxsinx－sinx(cosx＋2)＝0，即2sinx＝0，sinx＝0.而x∈时，sinx>0，矛盾．故假设不成立，所以a和b不可能平行．(3)解：若α＝0，c＝(0，1)，则f(x)＝a·(b－2c)＝(cosx，sinx)·(cosx＋2，sinx－2)＝4sin＋1，∴当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)max＝5.11.(2013·江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α、β的值．(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)解：因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以由此得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β，代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝，而α＞β，所以α＝，β＝.