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高考数学总复习 第4章 平面向量与复数第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时训练(含解析)-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学总复习 第4章 平面向量与复数第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时训练(含解析)-人教版高三全册数学试题_第1页
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第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例1.(2013·扬州期末)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),若a⊥b,则k=________.答案:2解析:∵a⊥b,∴a·b=-2+k=0,故k=2.2.(2013·盐城二模)若e1、e2是两个单位向量,a=e1-2e2,b=5e1+4e2,且a⊥b,则e1、e2的夹角为________.答案:π解析:∵a⊥b,∴a·b=0,即(e1-2e2)·(5e1+4e2)=0,∴5e-6e1·e2-8e=0,∴5-6cosθ-8=0,即cosθ=-.∵θ∈[0,π],∴θ=π.3.(2013·福建)在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为________.答案:5解析:本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长.因为AC·BD=1×(-4)+2×2=0,所以AC⊥BC,所以四边形的面积为==5.4.(2013·苏锡常镇一模)已知向量a、b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.答案:3解析:由|a|=1,|2a-b|=,得|a|2=1,|2a-b|2=10,∴4|a|2-4a·b+|b|2=10,即4|a|2-4|a||b|cos45°+|b|2=10,也就是4-2|b|+|b|2=10,解得|b|=3(负值已舍去).5.(2013·常州期末)已知向量a、b满足a+2b=(2,-4),3a-b=(-8,16),则向量a、b的夹角的大小为________.答案:π解析:由a+2b=(2,-4),3a-b=(-8,16),可得a=(-2,4),b=(2,-4),a=-b,故两向量共线且反向,故夹角为π.6.已知正△ABC的边长为1,CP=7CA+3CB,则CP·AB=________.答案:-2解析:CP·AB=(7CA+3CB)·(CB-CA)=4CA·CB-7|CA|2+3|CB|2=4×1×1×cos-7+3=-2.7.(2013·苏州期末)已知向量a、b满足|a|=1,(a+b)·(a-2b)=0,则|b|的最小值为________.答案:解析:设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π].因为|a|=1,(a+b)·(a-2b)=0,所以a2-a·b-2b2=0,即1-|b|cosθ-2|b|2=0,所以cosθ=,所以-1≤≤1,即解得≤|b|≤1,故|b|的最小值为.8.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则AP·BP的最小值为________.答案:1解析:取AB中点D,连结CD,则CA+CB=2CD,∴AP·BP=(AC+CP)·(BC+CP)=AC·BC+(AC+BC)·CP+|CP|2=CA·CB-2CD·CP+1=(2)2cos-2×3×1×cos〈CD,CP〉+1=7-6cos〈CD,CP〉,∴当〈CD,CP〉=0时,AP·BP取得最小值为7-6=1.9.如图所示,在平行四边形OADB中,向量OA=a,OB=b,两条对角线交点为C,又BM=BC,CN=CD.(1)试用a、b表示MN;(2)若|MN|=,|a|=2,|b|=6,求平行四边形OADB的面积.解:(1)∵MN=MC+CN,而BM=BC,CN=CD,∴MN=BA+OD=(OA-OB)+(OA+OB)=OA+OB=a+b.(2)由(1)|MN|2==a2+·b2+ab.∵|a|=2,|b|=6,记∠AOB=θ,则|MN|2=2+2cosθ=3,即cosθ=,∴平行四边形OADB的面积为2×6×=6.10.设平面向量a=(cosx,sinx),b=(cosx+2,sinx),c=(sinα,cosα),x∈R.(1)若a⊥c,求cos(2x+2α)的值;(2)若x∈,证明:a和b不可能平行;(3)若α=0,求函数f(x)=a·(b-2c)的最大值,并求出相应的x值.(1)解:若a⊥c,则a·c=0.cosxsinα+sinxcosα=0,即sin(x+α)=0.所以cos(2x+2α)=1-2sin2(x+α)=1.(2)证明:假设a和b平行,则cosxsinx-sinx(cosx+2)=0,即2sinx=0,sinx=0.而x∈时,sinx>0,矛盾.故假设不成立,所以a和b不可能平行.(3)解:若α=0,c=(0,1),则f(x)=a·(b-2c)=(cosx,sinx)·(cosx+2,sinx-2)=4sin+1,∴当x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)max=5.11.(2013·江苏)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α、β的值.(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.(2)解:因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以由此得,cosα=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β,代入sinα+sinβ=1得,sinα=sinβ=,而α>β,所以α=,β=.

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