北京师范大学出版社七年级（上册）畅言教育《探索与表达规律》情境1：一首永远也唱不完的儿歌.1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；……这样唱下去我们能唱完吗？能否用一种方式结束这首儿歌？利用刚学过的字母表示数进行数学建模，可以用一句话来概括“n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，n声扑通跳下水”。情境2：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣，每天给它脱一件，年底只剩一张皮.”日历在我们生活中随处可见，它不仅让我们可以很直观地观察出我们需要的数据，其中还蕴涵着很多的数学知识。（1）我们经常用到的日历中的数字之间都有哪些关系呢？（2）日历上方框中的9个数字之和与方框正中间和数字有什么关系？用心用情服务教育教学过程教学过程北京师范大学出版社七年级（上册）畅言教育（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（提示：用a表示方框中间的数，用合并同类项的知识解决问题）通过观察日历中的数字，我们不难发现其中的规律：（1）相邻的两个数字后者比前者大1，下者总比上者大7；（2）一方框中的9个数字之和是中间数的9倍；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立。[开眼界]探索规律不仅是去探索和发现数学规律，更主要的是经历从特殊到一般，从一般到特殊这种探索规律、验证规律的过程，了解从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。在用去括号、合并同类项等知识的同时，可适当了解以下知识。【杨辉三角】观察杨辉三角图，寻找其中的规律。【几个求和公式】；；2+4+6+…+2n=n(n+1)；.[经典例析]例1观察一列数表：根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为_______，第n行与第n列的交叉点上的数应为_______（用含有正整数n的的代数式表示）．点拨：通过观察不难发现第n行的第一个数为n，在第n行中，后一个数比前一个数大1，因此第6行的第6个数应该是6+6-1=11，第n行的第n个数应该是n+n-1=2n-1.解：112n-1评析：通过观察给出的一系列数找出它们的规律或探索它们之间的数量关系，再用数学方法给予证明（即用代数式表示其关系）是探索规律的常见题型。解决这类问题的一般方法是：“观察、归纳、猜想、验证”。另外要注意的是并非题目中都要告诉什么是行，什么是列，这是生活中的基本常识，要求能分得清楚。例2（2011年·安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只用心用情服务教育1234……第一行2345……第二行3456……第三行4567……第四行···第一列···第二列···第三列···第四列北京师范大学出版社七年级（上册）畅言教育有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5。(1)观察图形，填写下表：钉子数(n×n)S值2×223×32+34×42＋3＋()5×5()(2)写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。点拨:在观察规律时可用“覆盖法”，即n=k时包含了n=k－1时的所有情况，如n=3时，S=2+3，当n=4时,我们仅需考虑在n=3的基础上增加了几条不同长度的线段，显然由图形易得此时S=2+3+4，以此类推。解：（1）42＋3＋4＋5（或14）（2）类似以下答案均可：①n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；②分别用a、b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a=b＋n.（3）S=2＋3＋4＋…＋n.评析：对于刚入初一的同学来说，还不能算出不同线段的具体长度，但可以通过图形直观地感受出线段的长短，再从图形的变化中探索其中的规律.例3根据以下10个乘积，回答问题.11×2912×2813×2714×2615×2516×2417×2318×2219×2120×20（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的...
