第二课时利用空间向量求角和距离1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角等于(B)(A)30°(B)60°(C)150°(D)以上均错解析:直线l与平面α所成的角范围是[0°,90°].故选B.2.已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则l1与l2夹角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以cos===-.又两直线夹角的取值范围为[0,],所以l1和l2夹角的余弦值为.3.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为(A)(A)0(B)(C)-(D)解析:建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).1所以cos<,>==0.所以<,>=90°,其余弦值为0.故选A.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<,>的值等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M(1,,0),所以=(1,1,1),=(1,-,0).所以cos<,>===.所以sin<,>==.故选B.5.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为(D)(A)(B)(C)(D)2解析:设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,,3),=(,-,-2)所以||=.6.已知A∈α,Pα,∉=(-,,),平面α的一个法向量n=(0,-,-),则直线PA与平面α所成的角为(C)(A)30°(B)45°(C)60°(D)150°解析:设直线PA与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==.所以θ=60°.7.已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成的角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:建立如图所示的空间直角坐标系,令正四棱锥的棱长为2,则A(1,-1,0),D(-1,-1,0),3S(0,0,),E(,,),所以=(-,,),=(-1,-1,-),所以cos<,>==-,所以AE,SD所成的角的余弦值为.故选C.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,),所以=(1,0,1),=(1,1,).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),4则n·=0,且n·=0,即令x=1,得y=-,z=-1,所以n=(1,-,-1).又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1).所以cos==-.所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.9.已知点M(a,0,a),平面π过原点O,且垂直于向量n=(-,,a),则点M到平面π的距离d为.解析:=(a,0,a),则M到平面π的距离d==a.答案:a10.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为.解析:设直线l与平面α所成的角是θ,a,n所成的角为β,sinθ=|cosβ|=||=.答案:11.直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=CC1,M是A1B1的中点,则AC1与BM所成角的余弦值为.解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,5设AB=AC=CC1=2,则A(0,0,0),C1(0,2,2),B(2,0,0),M(1,0,2),所以=(0,2,2),=(-1,0,2),所以cos<,>===.答案:12.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且直线l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为.解析:=(-2,0,-1),又n与l垂直,所以P到l的距离为||==.答案:13.如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE与AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.(1)求证:AM⊥平面EBC;(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.(1)证明:因为四边形ACDE是正方形,6所以EA⊥AC,AM⊥EC.因为平面ACDE⊥平面ABC,所以EA⊥平面ABC.以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴,建立空间直角坐标系Axyz.设EA=AC=BC=2,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).因为M是正方形ACDE的对角线的交点,所以M(0,1,1).因为=(0,1,1),=(0,2,-2),=(2,0,0),所以·=0,·=0.所以AM⊥EC,AM⊥CB.又因为EC∩CB=C,所以AM⊥平面EBC.(2)解:因为AM⊥平面EBC,所以为平面EBC的一个法向量.因为=(0,1,1),=(2,2,0),所以cos<,>==.所以<,>=60°.所以直线AB与平面EBC所成角的大小为30°.14.如图所示,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,点E是AD的中点,将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角D′ECB是直二面角.7(1)证明:BE⊥CD′;(2)求二面角D′BCE的正切值.(1)证明:因为AD=2AB=2,E是AD的中点,所以△BAE,△CDE是等腰直角三角形.易知∠BEC=90°,即BE⊥EC.又因为...
