知能专练（七）三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2017·山东高考)已知cosx＝，则cos2x＝()A．－B.C．－D.解析：选D cosx＝，∴cos2x＝2cos2x－1＝.2．在△ABC中，若00，tanB>0，即A，B为锐角．tan(A＋B)＝>0，即tan(π－C)＝－tanC>0，所以tanC<0，所以C为钝角．所以△ABC为钝角三角形．3．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝()A.B.C．－D．－解析：选D因为cos＝，所以sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.4．(2018届高三·湖南省五市十校联考)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.解析：选A由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，所以角A＝.5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B.C．－D．－解析：选C设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsinB，∴c＝a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.∴cosA＝＝＝－.故选C.6．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24解析：选A因为A＋B＋C＝π，由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋得sin2A＋sin2B＋sin2C＝，即sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＋sin2C＝，整理得2sinCcos(A－B)＋2sinCcosC＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，整理得4sinA·sinBsinC＝，即sinAsinBsinC＝.又S＝absinC＝bcsinA＝casinB，因此S3＝a2b2c2sinAsinB·sinC＝a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23，即8≤abc≤16，因此选项C，D不一定成立．又b＋c>a>0，因此1bc(b＋c)>bc·a≥8，即bc(b＋c)>8，选项A一定成立．又a＋b>c>0，因此ab(a＋b)>ab·c≥8，即ab(a＋b)>8，显然不能得出ab(a＋b)>16，选项B不一定成立．综上所述，选A.二、填空题7．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.解析： α∈，tanα＝2，∴sinα＝，cosα＝，∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＝.答案：8．(2017·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.若C＝，则＝________.解析： sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1，∴sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B.由正弦定理可得ab＋bc＝2b2，即a＋c＝2b，∴c＝2b－a， C＝，由余弦定理可得(2b－a)2＝a2＋b2－2abcos，可得5a＝3b，∴＝.答案：9．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，则cos∠CDB＝＝.答案：三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝.(1)求b和sinA的值；(2)求sin的值．解：(1)在△ABC中，因为a>b，故由sinB＝，可得cosB＝.由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝.由正弦定理＝，得sinA＝＝.所以b的值为，sinA的值为.(2)由(1)及a
