第九节直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有2个公共点；Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有1个公共点；Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有0个公共点．(2)当a＝0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·|x1－x2|＝·＝·.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．()[解析](1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切．(2)错．当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切．(3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确．(4)错．当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点．[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定A[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]3．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12B[抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为＋＝1. 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，1∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.]4．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为__________.【导学号：51062308】x－y－1＝0[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]5．(2017·杭州质检)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为__________．[设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为＝.]直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．[解](1)椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1，2分又点P(0,1)在曲线C1上，所以＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.6分(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由8分消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，整理得2k2－m2＋1＝0.①12分由消去y得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得或14分所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.15分[规律方法]1.判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判定该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点．但应注意两点：(1)消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0；2(2)重视“判别式Δ”起的限制作用．2．对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程．[变式训练1]如图891，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．...
