专题限时集训(三)平面向量(对应学生用书第117页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)C[DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．已知单位向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b的夹角的余弦值为()【导学号：68334052】A．－B．－C.D.C[由|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝|a－b|，得2＋2a·b＝2(1－2a·b＋1)，即a·b＝，cos〈a，b〉＝＝，故选C.]3．已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°A[因为BA＝，BC＝，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]4．将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝()A.B.C.D.A[由题意可得OB的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则OB＝，故选A.]5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()【导学号：68334053】A．－B.C.D．3C[由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|AB|＝，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝×cos30°＝，故选C.]二、填空题6．在如图31所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．1图31[设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴∴则的值为.]7．(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设P为△ABC所在平面内一点，且满足3PA＋4PC＝mAB(m＞0)．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为________．14[以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，a＞0，由△ABP的面积是8，设P，C(x，y)，则由3PA＋4PC＝mAB得3×＋4×＝m(2a,0)，则－＋4×＝0，y＝，所以△ABC的面积是×2a×＝14.]8．已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则OB·OC＝__________.【导学号：68334054】－[ △ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴OB·OC＝(AB－AO)·(AC－AO)＝AB·AC－AO·AC－AO·AB＋AO2＝1×1×cos60°－×1×cos30°－×1×cos30°＋2＝－.]三、解答题9．设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解](1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.4分又x∈，从而sinx＝，所以x＝.6分(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，12分当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.15分10．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)已知m＝(sinωx，cosωx)，n＝(cosωx，－cosωx)(ω＞0，x∈R)，f(x)＝m·n－且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝，f(B)＝0，sinA＝3sinC，求a，c的值及△ABC的面积.【导学号：68334055】[解](1)f(x)＝m·n－＝sinωxcosωx－cos2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx－1＝sin－1.3分 相邻两对称轴之间的距离为，∴T＝＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－1，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.7分2(2)由(1)知，f(B)＝sin－1＝0， 0＜B＜π，∴－＜2B－＜，∴2B－＝，∴B＝.13分由sinA＝3sinC及正弦定理得a＝3c，在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝＝＝＝，∴c＝1，a＝3，∴S△ABC＝acsinB＝×3×1×＝.15分[B组名校冲刺]一、选择题1．已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1，]D．(－...
