高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹角课后导练 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.2.3直线与平面的夹角课后导练基础达标1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）A.最小值为θ,最大值为π-θB.最小值为θ,最大值为2C.最小值为θ,无最大值D.无最小值，最大值为2答案：B2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角（）A.30°B.60°C.45°D.90°答案：A3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（）A.15°B.45°C.60°D.30°答案：D4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________.答案：5155.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________.答案：锐角三角形6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值.解析：(1)如右图, SA、SB、SC两两垂直,1∴SC⊥面SAB.∴∠CBS是BC与平面SAB所成的角. ∠CBS=60°,∴BC与平面SAB所成的角为60°.(2)连结MC,在Rt△ASB中,∠SBA=45°,则SM⊥AB.又SC⊥面SAB,∴SC⊥AB,∴AB⊥面SMC.过S作SO⊥MC于点O,则SO⊥AB,∴SO⊥面ABC,∴∠SCM是SC与平面ABC所成的角.设SB=a,则SC=3a,SM=22a,在Rt△CSM中,CM=214a,∴sin∠SCM=77MCSM.7.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA是平面ABC的斜线，∠PAB=∠PAC=60°，（1）求PA与平面ABC所成角的大小；（2）PA的长等于多少时，点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上？解：(1)如右图,过P作PO⊥平面ABC于O,则∠PAO为PA与平面ABC所成的角,易证AO为∠BAC的平分线,则∠OAB=45°.由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得cos∠PAO=OABPABcoscos=2245cos60cos,∴∠PAO=45°.∴PA与平面ABC所成的角为45°.(2)若O∈BC,在△AOB中,BO=715,sinB=54,由正弦定理可求得AO=2712.2∴PA=724sinBAOf,即PA=724时,点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上.8.如右图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.解：建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以BD=(-1,1,0),1BB=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0),又由AC·BD=0,AC·1BB=0知,AC为平面BB1D1D的一个法向量.设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,则sinθ=cos(2-θ)=2222||||||mACAPACAP依题意有22)23(123222m,解得m=31,故当m=31时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.9.如右图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设FCFC1C1F=λFC.3当λ=3时，求EF与平面ABCD所成的角.解析：如右图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,2,0).当λ=3时,F(0,2,1),EF=(-1,0,1).设平面ABCD的法向量为n,则n=(0,0,1).设EF与n的夹角为θ,则cosθ=22||||nEFnEF∴EF与平面ABCD所成的角为45°.综合运用10.如下图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1=8，BD1与侧面BC1所成的角为30°.求：BD1和底面ABCD所成的角.解：正四棱柱AC1中,CC1⊥底面A1C1,∴CC1⊥D1C1, 底面是正方形,∴D1C1⊥B1C1,∴D1C1⊥侧面BC1,∴D1C1⊥BC1,∴∠D1BC1就是BD1与侧面BC1所成的角.∴∠D1BC1=30°, D1B=8,∴D1C1=4,B1D1=24=BD. D1D⊥底面AC,∴∠D1BD就是BD1与底面AC所成的角.4△D1BD中,cos∠D1BD=228241BDBD.∴∠D1BD=45°,即BD1和底面ABCD所成的角为45°.11.正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a，侧棱长为2a.(1)建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解：(1)以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴,以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系,由已知,得A(0,0,0)、B(0,a,0)、A1(0,0,2a)、C1(-23a,2a,2a).(2)坐标系如右图，取A1B1的中点M，于是有M（0，2a,2a）,连结AM、MC1,有1MC=(23a,0,0)且AB=(0,a,0),1AA=(0,0,2a).由于1MC·AB=0,1MC·1AA=0,∴MC1⊥面ABB1A1.∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角. 1AC=(23...