第四节基本不等式及其应用[基础达标]一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2015·福建德化一中、安溪一中摸底考试)已知a,b∈R*且a+b=1,则ab的最大值等于()A.1B.C.D.1.B【解析】由于a,b∈R*,则1=a+b≥2,得ab≤,当且仅当a=b=时等号成立.2.(2015·武汉调研)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a2,∴<0,即v<,∴a0,y>0,且=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-4,2)B.(-4,2]C.(-∞,8]D.(-∞,8)3.A【解析】要使x+2y>m2+2m恒成立,则(x+2y)min>m2+2m,而x>0,y>0,x+2y=(x+2y)·1=(x+2y)·=4+≥8,所以(x+2y)min=8,m2+2m<8,解得-41时,函数y=x+的最小值是.5.3【解析】因为x>1,y=x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,且x>1,即x=2时等号成立,故函数y的最小值为3.6.(2015·唐山月考)实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是.6.6【解析】利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥2=2,∵x+2y=2,∴3x+9y≥2=2=6,当且仅当3x=32y,即x=1,y=时,取等号,即3x+9y的最小值为6.7.(2015·湖南长郡中学月考)设x,y,z均为正数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是.7.3【解析】∵x-2y+3z=0,∴y=,∴=3.当且仅当x=3z时取“=”.8.(2016·长春外国语学校质检)已知第一象限的点(a,b)在直线2x+3y-1=0上,则代数式的最小值为.8.25【解析】由题意可得2a+3b=1,a>0,b>0,则(2a+3b)=13+≥13+2=25,当且仅当a=b=时取等号,所以代数式的最小值为25.9.(2015·广东惠州一中等六校联考)若不等式≥a对任意的x∈(0,1)恒成立,则a的最大值是.9.9【解析】∵x∈(0,1),∴1-x>0,∴=5+≥5+2=5+4=9,当且仅当,即x=时,取等号,所以的最小值为9,所以a≤9,所以a的最大值为9.[高考冲关]1.(5分)(2016·沈阳四校联考)对于使f(x)≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫做f(x)的“上确界”,若a,b∈R*且a+b=1,则-的“上确界”为()A.-B.C.D.-41.A【解析】因为(a+b)=+2,当且仅当b=2a=时取等号,所以-≤-,即-的“上确界”为-.2.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则△AFO与△BFO面积之和的最小值是()A.B.C.D.2.B【解析】由题意,设A(a2,a),B(b2,b),ab<0,∴=a2b2+ab=2,∴ab=-2.又∵F为抛物线y2=x的焦点,∴F,∴S△AFO+S△BFO=×|b-a|.∵|b-a|2=a2+b2-2ab≥-2ab-2ab=-4ab=8,当且仅当a=-b时,等号成立,∴|b-a|min=2,∴(S△AFO+S△BFO)min=.3.(5分)(2015·肇庆检测)若a>0,b>0,且,则a3+b3的最小值为.3.4【解析】因为a>0,b>0,所以,则ab≥2,所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2·(2ab-ab)=2()3≥2()3=4,当且仅当a=b时取等号,即a3+b3的最小值为4.4.(5分)(2015·河南实验中学质检)已知△ABC的面积S和三边a,b,c满足:S=a2-(b-c)2,b+c=6,则△ABC面积S的最大值为.4.【解析】由S=a2-(b-c)2得b2+c2-a2+S=2bc,则2bccosA+bcsinA=2bc,所以cosA=1-sinA,代入cos2A+sin2A=1中解得sinA=.又b+c=6≥2,则bc≤9,当且仅当b=c=3时取等号,所以△ABC面积S的最大值为bcsinA≤×9×.5.(5分)(2016·沈阳四校联考)设x,y均为正数,且方程(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2成立,则a的取值范围是.5.【解析】由(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2可得a==1-=1-,又x,y均为正数,所以+1≥2+1=3,0<≤1-<1,则a的取值范围是.
