高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6讲 离散型随机变量及其分布列分层演练 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第6讲离散型随机变量及其分布列1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于()A.B.C.D.解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选C.3．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.答案：4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝，由得－≤d≤.答案：5．抛掷一枚质地均匀的硬币3次．(1)写出正面向上次数X的分布列；(2)求至少出现两次正面向上的概率．解：(1)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X0123P(2)至少出现两次正面向上的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.6．(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．1(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．所以随机变量X的分布列是X0123P7.为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100，110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．(1)求此次抽样的样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X，求X的分布列．解：(1)设样本总数为n，由频率分布直方图可知：次数在[100，110)间的频率为：0.014×10＝0.14，所以＝0.14，解得n＝50.(2)记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A.P(C)＝0.006×10＋0.014×10＝0.20；P(B)＝0.028×10＋0.022×10＝0.50；P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.30.(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X＝10，15，20，25，30.P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X＝20)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37；P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X＝30)＝0.32＝0.09.X的分布列为X1015202530P0.040.20.370.30.091．(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至12日中的某一天到达该市，并停留3天．2(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．解：设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1，2，…，12)．依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.即此人到达当日空气重度污染的概率为.(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(...