课时跟踪检测(三十)平面向量基本定理及坐标表示一、题点全面练1.(2019·石家庄二中模拟)已知a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.解析:选B因为a+b=(2,t+2),a=λ(a+b),所以解得t=-6.2.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=()A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)解析:选B由题意得BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).3.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=()A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)解析:选A由题意可得3a-2b+c=3(5,2)-2(-4,-3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).4.(2018·济南调研)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+b与a-2b共线,则m的值为()A.2B.-2C.D.-解析:选D由a=(2,3),b=(-1,2),得ma+b=(2m-1,3m+2),a-2b=(4,-1),又ma+b与a-2b共线,所以-1×(2m-1)=(3m+2)×4,得m=-,故选D.5.如图,在△ABC中,BE是边AC的中线,O是边BE的中点,若AB=a,AC=b,则AO=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解析:选D 在△ABC中,BE是边AC上的中线,∴AE=AC. O是边BE的中点,∴AO=(AB+AE)=AB+AC=a+b.6.已知|OA|=1,|OB|=,OA⊥OB,点C在线段AB上,∠AOC=30°.设OC=mOA+nOB(m,n∈R),则等于()A.B.3C.D.解析:选B如图,由已知|OA|=1,|OB|=,OA⊥OB,可得AB=2,∠A=60°,因为点C在线段AB上,∠AOC=30°,所以OC⊥AB,过点C作CD⊥OA,垂足为点D,则OD=,CD=,所以OD=OA,DC=OB,即OC=OA+OB,所以=3.7.在△ABC中,AN=AC,P是BN上一点,若AP=mAB+AC,则实数m的值为________.解析:因为B,P,N三点共线,所以AP=tAB+(1-t)AN=tAB+(1-t)AC,又因为AP=mAB+AC,所以解得m=t=.答案:8.如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μBN,则λ+μ=________.解析:法一:以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,设正方形的边长为1,则AM=,BN=,AC=(1,1). AC=λAM+μBN=,∴解得∴λ+μ=.法二:由AM=AB+AD,BN=-AB+AD,得AC=λAM+μBN=AB++μAD,又AC=AB+AD,∴解得所以λ+μ=.答案:9.在△ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=________.解析:AQ=PQ-PA=(-3,2),因为Q是AC的中点,所以AC=2AQ=(-6,4),PC=PA+AC=(-2,7),因为BP=2PC,所以BC=3PC=(-6,21).答案:(-6,21)10.已知A(-3,0),B(0,),O为坐标原点,C在第二象限,且∠AOC=30°,OC=λOA+OB,则实数λ的值为________.解析:由题意知OA=(-3,0),OB=(0,),则OC=(-3λ,),由∠AOC=30°,知以x轴的非负半轴为始边,OC为终边的一个角为150°,所以tan150°=,即-=-,所以λ=1.答案:111.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设BA=a,BC=b,试以a,b为基底表示向量EF,DF,CD.解:EF=EA+AB+BF=-b-a+b=b-a,DF=DE+EF=-b+=b-a,CD=CF+FD=-b-=a-b.12.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足AM=AB+AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点O,设BO=xBM+yBN,求x,y的值.解:(1)由AM=AB+AC,可知M,B,C三点共线.如图,设BM=λBC,则AM=AB+BM=AB+λBC=AB+λ(AC-AB)=(1-λ)AB+λAC,所以λ=,所以=,即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.(2)由BO=xBM+yBN,得BO=xBM+BA,BO=BC+yBN,由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线,得解得二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.已知向量a=(x,1),b=(4,x),且a与b方向相反,则x的值是()A.2B.-2C.±2D.0解析:选B a与b方向相反,∴b=ma(m<0),则有(4,x)=m(x,1).即解得x=±2,又m<0,∴x=m=-2.2.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心...