3.2.5距离课后训练1．在三棱锥P－ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝13，则点P到平面ABC的距离为()A．12B．6C．315D．652．半径为R的球面上有A，B，C三点，其中A和B及A和C的球面距离都是12πR，B和C的球面距离是13πR，则球心O到平面ABC的距离是()A．22RB．77RC．217RD．273R3．已知A，B两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB在α内的射影线段长为3，则直线AB与平面α的夹角为()A．π6B．π3C．π6或π3D．π4或π34．不共面的四个点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有()A．3个B．4个C．6个D．7个5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A．83B．38C．43D．346．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1和C1D1的中点，则直线EF到平面B1D1D的距离为__________．7．已知直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，AB∥α，AC，BC与α所成角分别为45°和30°，若AB＝6，则AB到α的距离为__________．8．在三棱锥P－ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于__________．9．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离．10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱AB，CC1，D1A1上，且正方体的棱长为a，AE＝CF＝D1G＝b.(1)求证：DB1⊥平面EFG；1(2)求B1到平面EFG的距离．2参考答案1.答案：A设BC的中点为D，则由已知可证∠PDB＝∠PDC＝∠PDA，PD⊥平面ABC，PD就是所求距离，在Rt△ADC中，2211522DABCABAC，22=12PDPADA.2.答案：C由题知∠AOB＝∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝R，在Rt△AOD中，高OH即为所求．利用VA－OBC＝VO－ABC，得1334R2·R＝117322RR·OH，∴217OHR.3.答案：C按照A，B两点在平面α的同侧或异侧分别讨论．4.答案：D不共面的四个点构成三棱锥．平行于各个面的中截面有4个，夹在一组对棱正中间且与它们平行的平面有3个．5.答案：C利用111AABDV－＝111AABDV－可求得点A1到截面AB1D1的距离为43.6.答案：24设B1D1中点为O，EF中点为K，则KO即为EF到平面B1D1D的距离，11224KOCO.7.答案：6设AB到α的距离为h，=2sin30hCBh，2sin45hACh，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得(2h)2＋(2h)2＝62，解得6h.8.答案：233利用VA－PBC＝VP－ABC可求得点P到平面ABC的距离为233.9.答案：分析：点E在PA上，可将E到平面PBC的距离转化为A到平面PBC的距离问题，借助于面面垂直作出A到平面PBC的距离．解：∵E是PA的中点，∴点E到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离的一半．∵PC⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD，3故过点A在平面ABCD内作AH⊥BC，交BC于点H，得AH⊥平面PBC，∴AH为点A到平面PBC的距离．又AH＝AB·sin60°＝32a，则点E到平面PBC的距离为34a.10.答案：分析：正方体中建系较为方便，可建系求平面的法向量，用向量法证明线面垂直和求点面距离．解：(1)证明：以D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B1(a，a，a)，E(a，b,0)，F(0，a，b)，G(b,0，a)．所以1DB�＝(a，a，a)，EF�＝(－a，a－b，b)，FG�＝(b，－a，a－b)．所以1DB�·EF�＝0，1DB�·FG�＝0.所以DB1⊥EF，DB1⊥FG.而EF∩FG＝F，所以DB1⊥平面EFG.(2)设△EFG的重心在点H处，则333abababH，，.而DH�＝3aba1DB�，所以点H在DB1上，即HB1⊥平面EFG，1HB�＝1DB�－DH�＝222333ababab，，，所以|1HB�|＝33(2a－b)，所以点B1到平面EFG的距离为33(2a－b)．4
