课时达标第60讲不等式的证明[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用基本不等式证明不等式或求最值．1．已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2
证明(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2
因为a，b都是正数，所以a＋b>0
又因为a≠b，所以(a－b)2>0
于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2
2．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc
证明因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc，①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c，②c2(a2＋b2)≥2abc2，③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc
3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，求证：2≤3
证明欲证2≤3，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即证c＋2≥3，∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴c＋2＝c＋＋≥3＝3，∴c＋2≥3成立，故原不等式成立．4．设a，b为正实数，且＋＝2
(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解析(1)由2＝＋≥2，得ab≥，当a＝b＝时取等号．故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号．所以a2＋b2的最小值是1
(2)由(a－b)2≥4(ab)3，得2≥4ab，即2－≥4ab，从而ab＋≤2
又a，b为正实数，所以ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1
5．已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M
(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．解析(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝由f(x)>－1，
