第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算[A级基础巩固]一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)解析：A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．答案：C2．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．答案：B3．(2017·山东卷)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝()A．－2iB．2iC．－2D．2解析：易得z＝＝＝1－i所以z2＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.答案：A4．已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z等于()A．－3＋4iB．－3－4iC．3＋4iD．3－4i解析：由(3＋4i)z＝25，得z＝＝＝3－4i.答案：D5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.答案：A二、填空题6．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝1________，ab＝________．解析：因为(a＋bi)2＝3＋4i＝(2＋i)2，所以a＋bi＝2＋i或a＋bi＝－2－i，则或所以ab＝2，a2＋b2＝5.答案：527．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________．解析：因为z＝1＋i，则＝1－i.所以＋i·＝＋i(1－i)＝＋i＋1＝2.答案：28．已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z＝________.解析：z＝＝＝＝，所以z·z＝|z|2＝＋＝.答案：三、解答题9．定义运算＝ad－bc，则满足＝0的复数z所对应的点在第几象限？解：结合＝ad－bc，可知＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0，所以z＝＝＝2－i.所以复数z所对应的点在第四象限．10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i，所以z的共轭复数z＝－2－4i.(2)由(1)知，w＝＋ai＝－2＋(a＋4)i，所以|w|＝＝，|z|＝2.依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a≤0，所以－8≤a≤0，即a的取值范围为[－8，0]．B级能力提升1．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()A．EB．FC．GD．H解析：由题图可得z＝3＋i，2所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．答案：D2．(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则＝________．解析：因为z·z＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，所以＝＝i(2＋i)＝2i－1.答案：2i－13．已知复数z＝.(1)求|z|；(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．解：(1)因为z＝＝＝＝3－i，所以|z|＝.(2)又z(z＋a)＝b＋i，则(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)2＋(3－i)a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，所以⇒因此实数a＝－7，b＝－13.3
