§10.6圆锥曲线的综合问题考点一定点与定值问题5.(2013安徽,18,12分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解析(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q的坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.评析本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识和基本技能.考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.6.(2012湖南,21,13分)在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.(1)求曲线C1的方程;(2)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.解析(1)解法一:设M的坐标为(x,y),由已知得|x+2|=-3.易知曲线C1上的点位于直线x=-2的右侧,于是x+2>0,所以=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.解法二:由题设知,曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离.因此,曲线C1是以(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线.故其方程为y2=20x.(2)当点P在直线x=-4上运动时,P的坐标为(-4,y0),又y0≠±3,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0,于是=3.整理得72k2+18y0k+-9=0.①设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程①的两个实根.故k1+k2=-=-.②由得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4,则y1,y2是方程③的两个实根,所以y1y2=.④同理可得y3y4=.⑤于是由②,④,⑤三式得y1y2y3y4====6400.所以,当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.评析本题考查了直线、圆、抛物线的基础知识;考查了学生的运算求解能力.在运算时运用整体运算的技巧至关重要.考点二最值与范围问题7.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6答案D设Q(cosθ,sinθ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.8.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以==2p1,==2p2,故=,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此=.又由(1)中的=知=.故=.9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.解析(1)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)(i)由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率kTF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM=-,又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅...
