3.2.2复数代数形式的乘除运算课时过关·能力提升基础巩固1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i解析:由z1=1+i,z2=3-i,所以z1·z2=(1+i)(3-i)=3-i2+2i=4+2i.答案:A2.在复平面内,复数7+i3+4i对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i,所以复数对应的点(1,-1)在第四象限.答案:D3.若复数z满足z(1+i5)=2i25(i为虚数单位),则|z|=()A.1B.2C.√2D.√3解析:因为z(1+i5)=2i25,所以z(1+i)=2i,所以z¿2i1+i=2i(1-i)2=1+i,故|z|¿√12+12=√2.答案:C4.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1z2是实数,则实数a等于()A.34B.43C.−43D.−34解析:z1z2=¿3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i.因为z1z2是实数,所以4a-3=0,即a¿34.答案:A15.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则zz−z−1=()A.-2iB.-iC.iD.2i解析:∵z=1+i,∴z=1-i,∴z·z=¿z∨¿2¿=2,∴z·z−z−1=2-(1+i)-1=-i.答案:B6.已知a¿-3-i1+2i,则a4=.解析:∵a¿-3-i1+2i=(-3-i)(1-2i)5=−1+i,∴a4=[(-1+i)2]2=(-2i)2=-4.答案:-47.已知复数z=a+3i(i为虚数单位,a>0),若z2是纯虚数,则a=.解析:z2=(a+3i)2=a2+6ai+9i2=(a2-9)+6ai,由题易知{a2-9=0,6a≠0,a>0,解得a=3.答案:38.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是.解析:设z=x+yi(x,y∈R),则√x2+y2+2x+2yi=13+6i,于是{√x2+y2+2x=13,2y=6,解得{x=4,y=3或{x=403,y=3.因为13-2x≥0,所以x≤132,故x¿403舍去,故z=4+3i.答案:z=4+3i29.设复数z满足|z|=1,且(3+4i)·z是纯虚数,求z.分析:利用复数问题实数化的思想,设z=a+bi(a,b∈R),利用已知条件建立关于a,b的方程组,求解即可.解:设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=1,得√a2+b2=1.由题意,得(3+4i)·z=(3+4i)(a+bi)=3a-4b+(4a+3b)i是纯虚数,则{3a-4b=0,4a+3b≠0.由{√a2+b2=1,3a-4b=0,4a+3b≠0,解得{a=45,b=35或{a=-45,b=-35.所以z¿45+35i或z=−45−35i.故z=45−35i或z=−45+35i.能力提升1.已知复数z满足z+12i=1-i,其中i是虚数单位,则复数z的共轭复数为()A.1-2iB.1+2iC.2+iD.2-i解析:由z+12i=1-i,得z=2i(1-i)-1=2+2i-1=1+2i,所以z=1-2i.答案:A2.(1+i)3(1-i)2=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:D3.z是z的共轭复数,若z+z=2,¿z−z¿i=2(i为虚数单位),则z=()3A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i解析:设z=a+bi(a∈R,b∈R),则z=a−bi.由z+z=2,得2a=2,即a=1.又由(z−z¿i=2,得2bi·i=2,即b=-1.故z=1-i.答案:D4.★已知复数z1=a+2i,z2=a+(a+3)i,且z1z2>0,则实数a的值为()A.0B.0或-5C.-5D.以上均不对解析:z1z2=(a+2i)·[a+(a+3)i]=(a2-2a-6)+(a2+5a)i,由z1z2>0知z1z2为实数,且为正实数,因此应满足{a2+5a=0,a2-2a-6>0,解得a=-5(a=0舍去).故a=-5.答案:C5.设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则|z|等于.解析:因为z2=3+4i,所以|z2|¿√32+42=5,所以|z|¿√5.答案:√56.若关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根,则纯虚数m=.解析:设m=bi(b∈R,且b≠0),x0为方程的一个实根,由题意得x02+¿1+2i)x0-(3bi-1)i=0,∴¿+3b)+(2x0+1)i=0,∴{x02+x0+3b=0,2x0+1=0,4解得{x0=-12,b=112.∴m¿112i.答案:112i7.已知复数z1=1+ai,z2=2a-3i(a∈R).(1)若z1z2是纯虚数,求a的值;(2)若复数z2z1在复平面内对应的点在直线y=5x上,求a的值.解:(1)因为z1z2=(1+ai)(2a-3i)=5a+(2a2-3)i,要使z1z2是纯虚数,需满足{a=0,2a2-3≠0,所以a=0.(2)因为z2z1=2a-3i1+ai=(2a-3i)(1-ai)(1+ai)(1-ai)=-a-(2a2+3)i1+a2=−a1+a2−2a2+31+a2i,所以复数z2z1在复平面内对应的点为(-a1+a2,-2a2+31+a2),因此−2a2+31+a2=5·(-a1+a2),整理得2a2-5a+3=0,解得a=1或a¿32.8.★已知复数z1=2+i,2z2=z1+i(2i+1)-z1.(1)求z2;(2)若△ABC三内角A,B,C依次成等差数列,且u=cosA+2icos2C2,求|u+z2|的取值范围.解:(1)z2=12[(2+i)+i](2i+1)-(2+i)=1+ii-1=-2i2=−i.5(2)在△ABC中,∵A,B,C依次成等差数列,∴2B=A+C,∴B=60°,A+C=120°.∵u+z2=cosA+2icos2C2−i=cosA+i(2cos2C2-1)=cosA+icosC,∴|u+z2|2=cos2A+cos2C=cos2A+1-sin2C=1+(sin2C+cos2C)cos2A-(sin2A+cos2A)sin2C=1+cos2Acos2C-sin2Asin2C=1+cos(A+C)cos(A-C)=1+cos120°cos(A-C)=1−12cos¿A-C).由A+C=120°,得A-C=120°-2C,∴-120°
