课时作业49抛物线一、选择题1．(2018·云南昆明一中模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A．4B．3C．2D．1解析：由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3，故选B.答案：B2．(2018·陕西高三质检(一))设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率e＝()A.B.C.D．3解析：本题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率．由题意得双曲线的一条渐近线方程为y＝x，代入抛物线方程，整理得ax2－bx＋a＝0，因为双曲线的渐近线与抛物线相切，所以Δ＝b2－4a2＝0，所以b2＝4a2，所以c2＝5a2，所以离心率e＝＝，故选B.答案：B3．(2018·湖南岳阳二模)若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A．5pB．10pC．11pD．12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p， 直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p，故选B.答案：B4．(2018·合肥二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A．±B．±1C．±D．±解析：设M(x0，y0)，易知焦点为F，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2p×p＝3p2，解得y0＝±p，故直线MF的斜率k＝＝±，选A.答案：A5．(2018·甘肃省五掖市高三第一次考试)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝()A.B.C．5D.解析： p＝2，∴|AB|＝2＋＝.答案：D6．(2018·广东汕头一模，8)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝()A．1B．2C．3D．4解析： x2＝2y，∴y＝，∴y′＝x， 抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B， 抛物线x2＝2y的焦点F的坐标为，∴直线l的方程为y＝，∴|AF|＝|BF|＝1.故选A.答案：A7．(2018·东北三省四市联考(一))若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2B.C.D.解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y＝2x2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是，又2p＝，则＝，即|PF|的最小值为，故选D.答案：D8．(2018·甘肃省五掖市高三第一次考试)已知抛物线y2＝8x的焦点到双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是()A．(1，]B．(1,2]C．[，＋∞)D．[2，＋∞)解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，由题知≤，化简得b2≤3a2，又c2＝a2＋b2，∴c2≤4a2，∴e≤2，又e＞1，∴e∈(1,2]．答案：B9．(2018·广州毕业班测试(二))已知点A(4,4)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则∠EAF的平分线所在的直线方程为()A．2x＋y－12＝0B．x＋2y－12＝0C．2x－y－4＝0D．x－2y＋4＝0解析：本题考查抛物线的定义、直线的方程．因为点A(4,4)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以16＝8p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，E(－1,4)．由抛物线的定义可得|AF|＝|AE|，所以∠EAF的平分线所在的直线就是线段EF的垂直平分线．因为kEF＝＝－2，所以∠EAF的平分线所在的直线的斜率为，所以所求方程为y－4＝(x－4)，即x－2y＋4＝0，故选D.答案：D10．(2017·新课标全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10解析：因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝.同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)＝4（＋1＋1＋k2)＝8＋4（k2＋）≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝...
