高考数学总复习 高考达标检测（十四）综合问题是难点3大题型全冲关 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考达标检测（十四）综合问题是难点，3大题型全冲关1．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－11，故当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.f(x)在上单调递减，在上单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.而f＝aln＋＋>，所以不合题意．③若a>1，则f(1)＝－1＝<.综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．2．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝x2－x.(1)求f(x)的单调区间和极值点；(2)是否存在实数m，使得函数h(x)＝＋m＋g(x)有三个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意f′(x)＝lnx＋1(x>0)，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得00，得03；由φ′(x)<0，得10时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．故f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0，即f(x)≥0.(2)由已知x≥0，∴e－x－1≤0.当λ<0时，若x>－，则<0，此时f(x)<0，不符合题设条件；当λ≥0时，若x≥0，f(x)＝＋e－x－1≥0⇔x＋λx(e－x－1)＋e－x－1≥0.令g(x)＝x＋λx(e－x－1)＋e－x－1，则f(x)≥0⇔g(x)≥0.而g′(x)＝1＋λ(e－x－1)－λxe－x－e－x＝(λ－1)(e－x－1)－λxe－x.①当0≤λ≤时，由(1)知，x＋e－x－1≥0，即e－x≥1－x⇒ex≥1＋x，∴x≤ex－1.∴g′(x)＝(λ－1)(e－x－1)－λxe－x≥(λ－1)(e－x－1)－λe－x(ex－1)＝(λ－1)(e－x－1)－λ(1－e－x)＝(2λ－1)(e－x－1)≥0.此时g(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥0.②当λ>时，由(1)知，e－x≥1－x，∴x≥1－e－x.∴g′(x)＝(λ－1)(e－x－1)－λxe－x＝(λ－1)(e－x－1)－λx(e－x－1)－λx＝(λ－1－λx)(e－x－1)－λx≤(λ－1－λx)(e－x－1)－λ(1－e－x)＝(2λ－1－λx)(e－x－1)．当0＋＋…＋(n∈N*)．解：(1)函数f(x)＝lnx－ax＋1的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.∴f′(1)＝1－a.又切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，∴1－a＝，解得a＝.(2)f′(x)＝－a＝(x>0)．①当a≤0时，则f′(x)＝－a>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．而f(1)＝1－a>0，则f(x)≤0不成立，故a>0.②当a>0时，f′(x)＝，由f′(x)>0，得0，故f(x)在上是增函数，在上是减函数．∴f(x)的最大值为f＝－lna.要使f(x)≤0恒成立，只需－lna≤0，解得a≥1.故实数a的取值范围为[1，＋∞)．(3)证明：由(2)知，当a＝1时，有f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，且f(x)在(0,1]上是增函数，又f(1)＝0，∴lnx＋＋…＋(n∈N*)．